Fazendo uma permutação das equações do sistema se necessário, verifique que o método iterativo de Jacobi converge em cada um dos sistemas abaixo:
\left\{\begin{aligned} 2 x_{1}+4 x_{2}-x_{3} & =-1 \\\\ 5 x_{1}-2 x_{2}+2 x_{3} & =1 \\\ x_{1}+x_{2}-7 x_{3} & =3\end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
\begin{cases} 2x_{1}+4x_{2}-x_{3}=-1,\\[4pt] 5x_{1}-2x_{2}+2x_{3}=1,\\[4pt] x_{1}+x_{2}-7x_{3}=3, \end{cases}
e pede para verificar que o método iterativo de Jacobi converge (aceita permutar as equações se necessário). Informações relevantes obtidas do enunciado:
A=\begin{pmatrix}2 & 4 & -1\\[4pt]5 & -2 & 2\\[4pt]1 & 1 & -7\end{pmatrix},\qquad \mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)^T,\qquad \mathbf{b}=(-1,1,3)^T.
Pergunta: mostrar que o método de Jacobi converge para este sistema (pode-se permutar equações).]

Passo 2

Observação sobre permutar: o método de Jacobi converge se a matriz de iteração B tiver raio espectral \rho(B)<1. Um critério simples e prático que garante isso é a dominância diagonal estrita por linhas: se para cada linha i tivermos |a_{ii}|>\sum_{j\ne i}|a_{ij}|, então Jacobi converge. Verifico se a matriz dada já é estritamente diagonal dominante por linhas:
  • linha 1: |a_{11}|=|2|=2 e \sum_{j\ne1}|a_{1j}|=|4|+|{-1}|=5, não satisfaz;
  • linha 2: |a_{22}|=|-2|=2 e \sum_{j\ne2}|a_{2j}|=|5|+|2|=7, não satisfaz;
  • linha 3: |a_{33}|=|-7|=7 e \sum_{j\ne3}|a_{3j}|=|1|+|1|=2, satisfaz.
Só a terceira linha é dominante. Como o enunciado permite permutar equações, procuro uma permutação que torne todas as linhas estritamente diagonalmente dominantes. Trocando a primeira com a segunda equação (ou seja, permutando as linhas 1 e 2) obtenho o sistema equivalente
\begin{cases} 5x_{1}-2x_{2}+2x_{3}=1,\\[4pt] 2x_{1}+4x_{2}-x_{3}=-1,\\[4pt] x_{1}+x_{2}-7x_{3}=3. \end{cases}
A matriz de coeficientes permutada é
A'=\begin{pmatrix}5 & -2 & 2\\[4pt]2 & 4 & -1\\[4pt]1 & 1 & -7\end{pmatrix}.]

Passo 3

Definição e ideia do método de Jacobi (passo-a-passo didático):
  • Seja A\mathbf{x}=\mathbf{b}. Escrevemos A=D+R, onde D é a matriz diagonal contendo os elementos diagonais de A e R=A-D contém os restantes (zeros na diagonal).
  • A iteração de Jacobi é dada por
\mathbf{x}^{(k+1)}=D^{-1}(\mathbf{b}-R\mathbf{x}^{(k)}),
ou equivalentemente
\mathbf{x}^{(k+1)}=B\mathbf{x}^{(k)}+\mathbf{c},
onde B=-D^{-1}R\quad\text{e}\quad \mathbf{c}=D^{-1}\mathbf{b}.
  • Convergência: a sequência \mathbf{x}^{(k)} converge para a solução exata para qualquer chute inicial se, e somente se, o raio espectral \rho(B)<1. Uma forma prática de garantir isso é mostrar que alguma norma subordinada de B é <1, pois \rho(B)\le\|B\|.

Passo 4

Calculo D e R para a matriz permutada A':
D=\begin{pmatrix}5 & 0 & 0\\[4pt]0 & 4 & 0\\[4pt]0 & 0 & -7\end{pmatrix},\qquad R=A'-D=\begin{pmatrix}0 & -2 & 2\\[4pt]2 & 0 & -1\\[4pt]1 & 1 & 0\end{pmatrix}.]

Passo 5

Construo a matriz de iteração B=-D^{-1}R. Como D é diagonal, D^{-1} é fácil de obter dividindo cada linha pelo elemento diagonal correspondente. Para i\ne j temos b_{ij}=-a'_{ij}/a'_{ii} e b_{ii}=0. Calculando termo a termo:
  • linha 1 (dividindo por 5):
b_{12}=-\frac{-2}{5}=\frac{2}{5},\qquad b_{13}=-\frac{2}{5}=-\frac{2}{5}.
  • linha 2 (dividindo por 4):
b_{21}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2},\qquad b_{23}=-\frac{-1}{4}=\frac{1}{4}.
  • linha 3 (dividindo por -7):
b_{31}=-\frac{1}{-7}=\frac{1}{7},\qquad b_{32}=-\frac{1}{-7}=\frac{1}{7}.
Portanto
B=\begin{pmatrix} 0 & \tfrac{2}{5} & -\tfrac{2}{5}\\[6pt] -\tfrac{1}{2} & 0 & \tfrac{1}{4}\\[6pt] \tfrac{1}{7} & \tfrac{1}{7} & 0 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Verifico a norma induzida \|\cdot\|_{\infty} (norma do máximo da soma absoluta das linhas), porque \rho(B)\le\|B\|_{\infty}. Calculo as somas das linhas de |B|:
  • linha 1: \big|\tfrac{2}{5}\big|+\big|-\tfrac{2}{5}\big|=\tfrac{2}{5}+\tfrac{2}{5}=\tfrac{4}{5}=0{,}8.
  • linha 2: \big|-\tfrac{1}{2}\big|+\big|\tfrac{1}{4}\big|=\tfrac{1}{2}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{3}{4}=0{,}75.
  • linha 3: \big|\tfrac{1}{7}\big|+\big|\tfrac{1}{7}\big|=\tfrac{2}{7}\approx0{,}2857.
    O máximo dessas somas é \|B\|_{\infty}=\tfrac{4}{5}=0{,}8<1. Como \rho(B)\le\|B\|_{\infty}<1, segue que \rho(B)<1.
Interpretação didática: mostrar que cada linha tem soma das razões |a_{ij}/a_{ii}| menor que 1 é equivalente a mostrar dominância diagonal estrita por linhas de A'; isso garante que os termos de acoplamento na iteração são suficientemente pequenos para que os erros sejam contraídos a cada iteração.

Passo 7

Conclusão: com a permutação das equações 1 e 2 obtivemos uma matriz estritamente diagonal dominante por linhas e a matriz de iteração B tem \|B\|_{\infty}=0{,}8<1, portanto \rho(B)<1 e o método de Jacobi converge para o sistema dado. (A permutação das equações não altera a solução do sistema, apenas facilita a verificação da convergência.)

Resposta

Converge (por exemplo, permutando as equações 1 e 2 obtém-se matriz estritamente diagonal dominante e a matriz de iteração de Jacobi tem \|B\|_{\infty}=0{,}8<1, logo \rho(B)<1).

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