Utilizando a definição da função gamma
Gamma(x):=integral0^+infty e^-t t^x-1 d t
e suas propriedades determine
integral0^+infty e^-3 x x^32 d x Sugestão: Faça a mudança de variável t=3 x e use a função Gamma

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral integral0^infty e^-3x x^3/2,dx usando a definição da função Gama Gamma(x)=integral0^inftye^-tt^x-1dt. Vamos usar a mudança de variável sugerida t=3x e as propriedades da função Gama.

Passo 2

Fazendo a mudança de variável t=3x, temos x=t/3 e dx=dt/3. Substituindo na integral, obtemos:
integral0^infty e^-3x x^3/2,dx =integral0^infty e^-t l(t3r)^3/2dt3 =13^5/2integral0^infty e^-t t^3/2,dt

Passo 3

Reconhecemos que integral0^infty e^-t t^3/2,dt é exatamente Gamma(5/2), pois na definição t^x-1 temos x-1=3/2 logo x=5/2.

Passo 4

Para calcular Gamma(5/2) usamos a propriedade de recorrência Gamma(z+1)=zGamma(z) e o valor Gamma(1/2)=raizpi:
Gammal(5/2r)=32,Gammal(3/2r) =32cdot12,Gammal(1/2r) =32cdot12cdotraizpi =3raizpi4

Passo 5

Substituindo Gamma(5/2)=3raizpi/4 na integral e simplificando:
integral0^infty e^-3x x^3/2,dx =13^5/2cdot3raizpi4 =3raizpi4,3^5/2 =raizpi4,3^3/2 =raizpi12raiz3

Resposta

raizpi12raiz3

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