Q. 1 (3,0). Fazendo uso das propriedades dos limites, avalie (sem o uso da regra de L’Hopsital) cada limite abaixo.
lim x 0 raiz[3]1+6 x-1x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limx to 0 raiz[3]1+6x-1x
usando propriedades de limites sem recorrer à regra de L’Hôpital. O conteúdo é manipulação algébrica de radicais e fatoração de diferença de cubos.

Passo 2

Note que raiz[3]1+6x-1 é a diferença de cubos a-b com
a = (1+6x)^1/3, b = 1,
e lembramos da identidade
a^3 - b^3 = (a - b),(a^2 + a b + b^2)

Passo 3

Multiplicamos numerador e denominador por
(1+6x)^2/3 + (1+6x)^1/3 + 1
para usar a fatoração:
raiz[3]1+6x-1x = l(raiz[3]1+6x-1r)l((1+6x)^2/3+(1+6x)^1/3+1r) xl((1+6x)^2/3+(1+6x)^1/3+1r)

Passo 4

No numerador aplica-se a identidade de cubos:
l(raiz[3]1+6x-1r)l((1+6x)^2/3+(1+6x)^1/3+1r) = (1+6x) - 1 = 6x
Logo a expressão vira
6xxl((1+6x)^2/3+(1+6x)^1/3+1r) = 6(1+6x)^2/3+(1+6x)^1/3+1

Passo 5

Fazendo xto0, os termos (1+6x)^1/3 e (1+6x)^2/3 tendem a 1, então o denominador tende a 1+1+1=3. Assim
limx to 0raiz[3]1+6x-1x = 63 = 2

Resposta

2

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