Exercício 1. (F. 3.1, ex.2) Suponha que y1, ldots, yn seja uma base ortogonal de C^n (não necessariamente ortonor mal). Seja y in C^n e a1, ldots, an in C tais que
y=a1 y1+ldots+an yn
i) Calcule lang<= y, yjrang<= e mostre que lang<= y, yjrang<==aj|yj|^2, para todo j in1, ldots, n.
ii) Conclua que
y=lang<= y, y1rang<=|y1|^2 y1+ldots+lang<= y, ynrang<=|yn|^2 yn

Passo 1

O enunciado trata de uma base ortogonal y1,dots,yn de C^n (não necessariamente ortonormal) e de um vetor yinC^n escrito como
y = a1y1 + cdots + anyn
O conteúdo é projeção ortogonal e iremos usar linearidade do produto interno e a propriedade de ortogonalidade para encontrar os coeficientes aj.

Passo 2

Para cada j, calculamos
lang<= y, yjrang<= = lang<= sumi=1^naiyi,,yjrang<= = sumi=1^nailang<= yi,yjrang<=
Como a base é ortogonal, lang<= yi,yjrang<==0 sempre que ineq j e lang<= yj,yjrang<==|yj|^2. Logo,
lang<= y,yjrang<= = aj,|yj|^2

Passo 3

De lang<= y,yjrang<==aj|yj|^2 e sabendo que |yj|^2neq0, obtemos
aj = lang<= y,yjrang<=|yj|^2

Passo 4

Bastando substituir cada aj na expressão de y, concluímos que
y = sumj=1^n ajyj = sumj=1^n lang<= y,yjrang<=|yj|^2,yj

Resposta

y = lang<= y,y1rang<=|y1|^2,y1 + cdots + lang<= y,ynrang<=|yn|^2,yn

Exercícios relacionados