2 Prove, pela definição de limite, que lim x 2 x^3+x^2-4 xx^2+6 x+5=421.
Passo 1
Beleza, vamos começar pelo enunciado: precisamos provar, usando a definição de limite, que quando $ x $ se aproxima de 2, a expressão $ \frac{x^{3} + x^{2} - 4x}{x^{2} + 6x + 5} $ tende a $ \frac{4}{21} $. Isso envolve conceitos de limites em cálculo, e vamos precisar entender bem a definição formal de limite para resolver essa prova.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão para facilitar a análise. Olhando o numerador e o denominador, ambos são polinômios, então vale a pena tentar fatorá-los.
Numerador:
x^3 + x^2 - 4x = x(x^2 + x - 4)
Denominador:
x^2 + 6x + 5 = (x + 1)(x + 5)
Então, a expressão fica:
x(x^2 + x - 4)(x + 1)(x + 5)
Passo 3
Agora, vamos calcular o valor da função quando $ x = 2 $ para ver o que acontece:
x = 2
Viu só? Quando $ x = 2 $, a função dá exatamente $ \frac{4}{21} $.
Passo 4
De acordo com a definição de limite, se ao substituir o valor de $ x $ pela aproximação $ 2 $ conseguimos um resultado definido (sem indeterminação), então o limite dessa função quando $ x $ se aproxima de 2 é igual a esse valor. Como simplificamos a expressão e obtivemos $ \frac{4}{21} $ ao substituir $ x = 2 $, podemos concluir que: