Fazendo usufruto do mínimo múltiplo comum, simplifique as expressões a seguir.
1x-x+1x^2+1+x(x+1)^2

Passo 1

Vamos simplificar a expressão 1x - x+1x^2+1 + x(x+1)^2 usando o mínimo múltiplo comum (MMC). Para isso, precisamos entender o que é o MMC e como aplicá-lo para combinar as frações.

Passo 2

Primeiro, identifiquemos os denominadores das três frações:
  1. O denominador da primeira fração é x.
  2. O denominador da segunda fração é x^2 + 1.
  3. O denominador da terceira fração é (x + 1)^2.
Para somar ou subtrair frações, precisamos que elas tenham o mesmo denominador. Por isso, vamos encontrar o MMC desses denominadores.

Passo 3

O MMC de vários denominadores é o menor múltiplo que é comum a todos eles. Para encontrá-lo, vamos fatorar cada denominador:
  1. x já está fatorado.
  2. x^2 + 1 não pode ser fatorado mais (é uma soma de quadrados).
  3. (x + 1)^2 é o quadrado de (x + 1).

Passo 4

Agora, identificamos os fatores necessários para o MMC:
  • Temos um fator x.
  • Temos um fator (x^2 + 1).
  • Temos um fator (x + 1)^2.
Portanto, o MMC será o produto desses fatores:
MMC = x cdot (x^2 + 1) cdot (x + 1)^2

Passo 5

Com o MMC encontrado, vamos reescrever cada fração com esse denominador comum:
  1. Para 1x, multiplicamos numerador e denominador por (x^2 + 1)(x + 1)^2:
1x = (x^2 + 1)(x + 1)^2x cdot (x^2 + 1) cdot (x + 1)^2
  1. Para x+1x^2 + 1, multiplicamos numerador e denominador por x(x + 1)^2:
x+1x^2 + 1 = x(x + 1)^2x cdot (x^2 + 1) cdot (x + 1)^2
  1. Para x(x + 1)^2, multiplicamos numerador e denominador por x(x^2 + 1):
x(x + 1)^2 = x cdot x cdot (x^2 + 1)x cdot (x^2 + 1) cdot (x + 1)^2

Passo 6

Agora que todas as frações têm o mesmo denominador, podemos combiná-las:
(x^2 + 1)(x + 1)^2 - x(x + 1)^2 + x^2(x^2 + 1)x cdot (x^2 + 1) cdot (x + 1)^2

Passo 7

Vamos simplificar o numerador passo a passo:
  1. Expandindo (x^2 + 1)(x + 1)^2:
(x^2 + 1)(x^2 + 2x + 1) = x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1
  1. Expandindo -x(x + 1)^2:
-x(x^2 + 2x + 1) = -x^3 - 2x^2 - x
  1. Expandindo x^2(x^2 + 1):
x^2(x^2 + 1) = x^4 + x^2
Agora, somamos todos os termos do numerador:
x^4 + 2x^3 + 2x^2 + 2x + 1 - x^3 - 2x^2 - x + x^4 + x^2 = 2x^4 + x^3 + x + 1

Resposta

A expressão simplificada é:
2x^4 + x^3 + x + 1x (x^2 + 1) (x + 1)^2

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