Fazendo usufruto do mínimo múltiplo comum, simplifique as expressões a seguir.
x+1+1x-1+2(x-1)^2-1x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para simplificar a expressão $ x + 1 + \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{(x - 1)^{2}} - \frac{1}{x + 1} $ usando o mínimo múltiplo comum (MMC). Isso faz parte da matéria de Frações Algébricas, onde aprendemos a simplificar expressões que têm denominadores diferentes. Para resolver, vamos precisar encontrar o MMC dos denominadores e então combinar os termos de forma mais simples.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os denominadores das frações na expressão: $ x - 1 $, $ (x - 1)^2 $ e $ x + 1 $. Precisamos encontrar o MMC desses denominadores.

Passo 3

O MMC é o menor múltiplo que é comum a todos os denominadores. Olhando para $ x - 1 $ e $ (x - 1)^2 $, o maior expoente de $ x - 1 $ é 2, então precisamos de $ (x - 1)^2 $. Também temos $ x + 1 $, que não tem fatores em comum com $ x - 1 $. Então, o MMC será $ (x - 1)^2 (x + 1) $.

Passo 4

Agora, vamos reescrever cada termo da expressão com o denominador comum $ (x - 1)^2 (x + 1) $:
  • $ x + 1 $ pode ser escrito como $ \frac{(x + 1)(x - 1)^2 (x + 1)}{(x - 1)^2 (x + 1)} $, mas como não tem denominador, vamos multiplicar por $ \frac{(x - 1)^2 (x + 1)}{(x - 1)^2 (x + 1)} $.
  • $ \frac{1}{x - 1} $ multiplicamos numerador e denominador por $ (x - 1)(x + 1) $ para ficar com o denominador comum.
  • $ \frac{2}{(x - 1)^2} $ multiplicamos numerador e denominador por $ x + 1 $.
  • $ \frac{1}{x + 1} $ multiplicamos numerador e denominador por $ (x - 1)^2 $.
Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 5

Reescrevendo cada termo:
  1. $ x + 1 = \frac{(x + 1)(x - 1)^2 (x + 1)}{(x - 1)^2 (x + 1)} = \frac{(x + 1)^2 (x - 1)^2}{(x - 1)^2 (x + 1)} $
    Simplificando: $ \frac{(x + 1)(x - 1)^2}{(x - 1)^2} \times (x + 1) = (x + 1) $
  2. $ \frac{1}{x - 1} = \frac{1 \cdot (x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2 (x + 1)} = \frac{x + 1}{(x - 1)^2 (x + 1)} $
  3. $ \frac{2}{(x - 1)^2} = \frac{2 \cdot (x + 1)}{(x - 1)^2 (x + 1)} = \frac{2(x + 1)}{(x - 1)^2 (x + 1)} $
  4. $ \frac{1}{x + 1} = \frac{1 \cdot (x - 1)^2}{(x - 1)^2 (x + 1)} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)^2 (x + 1)} $

Passo 6

Agora que todos os termos têm o mesmo denominador $ (x - 1)^2 (x + 1) $, podemos somar e subtrair os numeradores:
(x - 1)^2 (x + 1)
Simplificando os numeradores:
(x + 1)(x - 1)^2(x - 1)^2 (x + 1) + x + 1(x - 1)^2 (x + 1) + 2(x + 1)(x - 1)^2 (x + 1) - (x - 1)^2(x - 1)^2 (x + 1)

Passo 7

Vamos expandir e simplificar os numeradores:
  1. Expanda $ (x + 1)(x - 1)^2 $:
(x + 1)(x - 1)^2
  1. Os outros termos:
(x + 1)(x^2 - 2x + 1) = x^3 - 2x^2 + x + x^2 - 2x + 1 = x^3 - x^2 - x + 1

Passo 8

Agora, somamos os resultados dos numeradores:
x^3 - x^2 - x + 1 - x^2 + 5x + 2 = x^3 - 2x^2 + 4x + 3
Então, a expressão simplificada fica:
x^3 - 2x^2 + 4x + 3(x - 1)^2 (x + 1)

Passo 9

Podemos verificar se o numerador pode ser fatorado para simplificar ainda mais. Vamos tentar fatorar $ x^3 - 2x^2 + 4x + 3 $.
Testando possíveis raízes, vemos que $ x = -1 $ é uma raiz:
x^3 - 2x^2 + 4x + 3
Testando $ x = 1 $:
x = -1
Portanto, o numerador não pode ser fatorado de forma simples usando números inteiros.

Resposta

A expressão simplificada utilizando o mínimo múltiplo comum é:
x^3 - 2x^2 + 4x + 3(x - 1)^2 (x + 1)

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