Fazendo usufruto do mínimo múltiplo comum, simplifique as expressões a seguir.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para simplificar a expressão $ x + 1 + \frac{1}{x - 1} + \frac{2}{(x - 1)^{2}} - \frac{1}{x + 1} $ usando o mínimo múltiplo comum (MMC). Isso faz parte da matéria de Frações Algébricas, onde aprendemos a simplificar expressões que têm denominadores diferentes. Para resolver, vamos precisar encontrar o MMC dos denominadores e então combinar os termos de forma mais simples.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os denominadores das frações na expressão: $ x - 1 $, $ (x - 1)^2 $ e $ x + 1 $. Precisamos encontrar o MMC desses denominadores.
Passo 3
O MMC é o menor múltiplo que é comum a todos os denominadores. Olhando para $ x - 1 $ e $ (x - 1)^2 $, o maior expoente de $ x - 1 $ é 2, então precisamos de $ (x - 1)^2 $. Também temos $ x + 1 $, que não tem fatores em comum com $ x - 1 $. Então, o MMC será $ (x - 1)^2 (x + 1) $.
Passo 4
Agora, vamos reescrever cada termo da expressão com o denominador comum $ (x - 1)^2 (x + 1) $:
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$ x + 1 $ pode ser escrito como $ \frac{(x + 1)(x - 1)^2 (x + 1)}{(x - 1)^2 (x + 1)} $, mas como não tem denominador, vamos multiplicar por $ \frac{(x - 1)^2 (x + 1)}{(x - 1)^2 (x + 1)} $.
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$ \frac{1}{x - 1} $ multiplicamos numerador e denominador por $ (x - 1)(x + 1) $ para ficar com o denominador comum.
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$ \frac{2}{(x - 1)^2} $ multiplicamos numerador e denominador por $ x + 1 $.
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$ \frac{1}{x + 1} $ multiplicamos numerador e denominador por $ (x - 1)^2 $.
Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 5
Reescrevendo cada termo:
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$ x + 1 = \frac{(x + 1)(x - 1)^2 (x + 1)}{(x - 1)^2 (x + 1)} = \frac{(x + 1)^2 (x - 1)^2}{(x - 1)^2 (x + 1)} $Simplificando: $ \frac{(x + 1)(x - 1)^2}{(x - 1)^2} \times (x + 1) = (x + 1) $
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$ \frac{1}{x - 1} = \frac{1 \cdot (x - 1)(x + 1)}{(x - 1)^2 (x + 1)} = \frac{x + 1}{(x - 1)^2 (x + 1)} $
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$ \frac{2}{(x - 1)^2} = \frac{2 \cdot (x + 1)}{(x - 1)^2 (x + 1)} = \frac{2(x + 1)}{(x - 1)^2 (x + 1)} $
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$ \frac{1}{x + 1} = \frac{1 \cdot (x - 1)^2}{(x - 1)^2 (x + 1)} = \frac{(x - 1)^2}{(x - 1)^2 (x + 1)} $
Passo 6
Agora que todos os termos têm o mesmo denominador $ (x - 1)^2 (x + 1) $, podemos somar e subtrair os numeradores:
Simplificando os numeradores:
Passo 7
Vamos expandir e simplificar os numeradores:
- Expanda $ (x + 1)(x - 1)^2 $:
- Os outros termos:
Passo 8
Agora, somamos os resultados dos numeradores:
Então, a expressão simplificada fica:
Passo 9
Podemos verificar se o numerador pode ser fatorado para simplificar ainda mais. Vamos tentar fatorar $ x^3 - 2x^2 + 4x + 3 $.
Testando possíveis raízes, vemos que $ x = -1 $ é uma raiz:
Testando $ x = 1 $:
Portanto, o numerador não pode ser fatorado de forma simples usando números inteiros.
Resposta
A expressão simplificada utilizando o mínimo múltiplo comum é: