Para fazer uma bola de bilhar rolar sem escorregar desde o início de seu movimento, a ponta do taco não deve tocá-la em seu centro (isto é, a uma altura acima da mesa igual ao raio
da bola), mas sim a uma altura de exatamente
acima do centro. Prove este resultado. [Para aprender mais a respeito da mecânica do bilhar, ver Amold Sommerfeld. Mechanics, Volume 2 of Lectures on Theoretical Physics, Academic Press, Orlando (1964 paperback edition), pp. 158-161.]
Passo 1
Beleza, aqui a ideia é entender por que, pra bola de bilhar começar a rolar sem deslizar desde o “start”, o taco tem que dar um “tap” numa altura específica em relação ao centro da bola. O enunciado diz que essa altura deve ser exatamente
acima do centro da bola (e não em
, que seria o centro, ou seja, o ponto mais alto é
acima da mesa).
Conteúdo: dinâmica de corpo rígido, impulso e momento de inércia, condição de rolamento sem deslizar. Vamos usar:
Conteúdo: dinâmica de corpo rígido, impulso e momento de inércia, condição de rolamento sem deslizar. Vamos usar:
- Impulso linear e angular gerados pelo choque do taco.
- Momento de inércia da esfera sólida
. - Condição de rolamento sem deslizar:
.
Passo 2
Quando o taco atinge a bola, ele aplica um impulso
horizontal num ponto a uma altura
acima do centro.
- Impulso linear: o centro de massa (CM) ganha momento linear
Passo 3
Ao mesmo tempo, esse mesmo impulso gera um impulso de momento angular em relação ao CM da bola:
porque impulso angular = impulso
vezes braço
, e isso muda o momento de inércia
vezes a velocidade angular
. Como
, temos
Passo 4
Pra rolar sem deslizar imediatamente, a condição é
Substituindo
e
ali de cima:
Passo 5
Agora a gente simplifica:
e
cancelam dos dois lados, sobrando
Resposta
O taco deve acertar a bola a uma altura
acima do centro para que ela comece a rolar sem deslizar desde o início.