Para fazer uma bola de bilhar rolar sem escorregar desde o início de seu movimento, a ponta do taco não deve tocá-la em seu centro (isto é, a uma altura acima da mesa igual ao raio R da bola), mas sim a uma altura de exatamente 2 R / 5 acima do centro. Prove este resultado. [Para aprender mais a respeito da mecânica do bilhar, ver Amold Sommerfeld. Mechanics, Volume 2 of Lectures on Theoretical Physics, Academic Press, Orlando (1964 paperback edition), pp. 158-161.]

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é entender por que, pra bola de bilhar começar a rolar sem deslizar desde o “start”, o taco tem que dar um “tap” numa altura específica em relação ao centro da bola. O enunciado diz que essa altura deve ser exatamente
h = 2R5
acima do centro da bola (e não em , que seria o centro, ou seja, o ponto mais alto é acima da mesa).
Conteúdo: dinâmica de corpo rígido, impulso e momento de inércia, condição de rolamento sem deslizar. Vamos usar:
  1. Impulso linear e angular gerados pelo choque do taco.
  2. Momento de inércia da esfera sólida .
  3. Condição de rolamento sem deslizar: .

Passo 2

Quando o taco atinge a bola, ele aplica um impulso J = m,vrm CM Longrightarrow vrm CM = Jm horizontal num ponto a uma altura acima do centro.
  • Impulso linear: o centro de massa (CM) ganha momento linear

Passo 3

Ao mesmo tempo, esse mesmo impulso gera um impulso de momento angular em relação ao CM da bola:
J ,h = I,omega,
porque impulso angular = impulso omega = J,hI = J,htfrac25mR^2 = 5J,h2mR^2 vezes braço , e isso muda o momento de inércia vezes a velocidade angular . Como , temos

Passo 4

Pra rolar sem deslizar imediatamente, a condição é
vrm CM = omega,R
Substituindo Jm ;=;l(5J,h2mR^2r),R Longrightarrow Jm = 5J,h2mR, e ali de cima:

Passo 5

Agora a gente simplifica: 1 = 5,h2R Longrightarrow h = 2R5 e cancelam dos dois lados, sobrando

Resposta

O taco deve acertar a bola a uma altura
boxedh = 2R5
acima do centro para que ela comece a rolar sem deslizar desde o início.

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