Uma menina com massa de
está de pé na beirada de um carrossel, sem atrito, quée possui um raio de
massa de 827 kg . O carrossel está parado quando a menina lança uma pedra de
na direçảo horizontal tangente à circunferência externa do carrossel, coni velocidade relativa ao solo de
. Calcule (a) a velocidade angular do carrossel e (b) a velocidade linear da menina; depois que a pedra é lançada. Admita que o carrosselscja urn disço uniforme.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma menina de 50,6 kg parada na beirada de um carrossel sem atrito. O carrossel tem raio de 3,72 metros e massa de 827 kg. Inicialmente, ele está parado. A menina lança uma pedra de 1,13 kg na direção horizontal, tangente à circunferência do carrossel, com velocidade de 7,82 m/s em relação ao chão. Precisamos calcular:
a) A velocidade angular do carrossel depois que a pedra é lançada.
b) A velocidade linear da menina após o lançamento da pedra.
Para resolver isso, vamos usar o Princípio da Conservação do Momento Angular. Esse princípio diz que, se não tem torque externo agindo, o momento angular total do sistema permanece constante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é momento angular. É uma quantidade que depende da massa, da velocidade e da distância do ponto de rotação. Matematicamente, é dado por:
onde:
- $ m $ é a massa,
- $ v $ é a velocidade,
- $ R $ é o raio.
No nosso caso, antes do lançamento, o carrossel está parado, então o momento angular inicial é zero.
Passo 3
Quando a menina lança a pedra, ela dá um impulso que faz o carrossel começar a girar na direção oposta (por causa da reação). Vamos considerar que o sistema é composto pelo carrossel e pela menina, e a pedra é o que está sendo lançada.
Como não há atrito, nem outras forças externas atuando, o momento angular total após o lançamento também deve ser zero. Então, o momento angular do carrossel mais o momento angular da pedra devem se igualar a zero:
Passo 4
Vamos calcular o momento angular da pedra. A pedra tem massa de 1,13 kg e velocidade de 7,82 m/s, e está sendo lançada na tangente do carrossel, então a distância é igual ao raio $ R = 3,72 , m $.
Passo 5
Agora, precisamos relacionar isso com o momento angular do carrossel. O carrossel é considerado um disco uniforme, então o momento de inércia $ I $ é:
onde $ M = 827 , kg $ e $ R = 3,72 , m $.
Passo 6
O momento angular do carrossel é dado por:
onde $ \omega $ é a velocidade angular que queremos encontrar.
Segundo a conservação do momento angular:
O sinal negativo indica que o carrossel gira na direção oposta ao lançamento da pedra, como esperávamos.
Passo 7
Agora, para encontrar a velocidade linear da menina após o lançamento, usamos a relação entre velocidade linear $ v $ e velocidade angular $ \omega $:
Temos $ \omega \approx -0,00575 , rad/s $ e $ R = 3,72 , m $:
O valor negativo indica que a menina se move na direção oposta ao lançamento da pedra.
Resposta
a) A velocidade angular do carrossel após o lançamento da pedra é aproximadamente $ 0,00575 , rad/s $.
b) A velocidade linear da menina após o lançamento da pedra é aproximadamente $ 0,02139 , m/s $ na direção oposta ao lançamento.