Sem fazer cálculo algum, diga quais são as bases obtidas de \mathcal{V}=\left\{v_{1}, v_{2}, v_{3}\right\} pelo processo de Gram-Schmidt nos seguintes casos:
(a) v_{1}=(3,0,0), v_{2}=(-1,3,0), v_{3}=(2,-5,1)

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial gerado por \mathcal{V}=\{v_{1},v_{2},v_{3}\}
com
v_{1}=(3,0,0),\quad v_{2}=(-1,3,0),\quad v_{3}=(2,-5,1),
e pede as bases obtidas pelo processo de Gram–Schmidt. Vamos usar o método de ortogonalização de Gram–Schmidt, que constrói vetores u_{1},u_{2},u_{3} tais que cada u_k é v_k menos projeções em u_1,\dots,u_{k-1}.

Passo 2

O primeiro vetor ortogonal é simplesmente
u_{1}=v_{1}=(3,0,0).

Passo 3

Para obter u_{2} subtraímos de v_{2} sua projeção em u_{1}. Isso elimina a componente na direção de u_{1} e deixa
u_{2}=(0,3,0).

Passo 4

Para u_{3} subtraímos de v_{3} as projeções em u_{1} e em u_{2}, eliminando as componentes x e y, restando
u_{3}=(0,0,1).

Passo 5

Assim obtemos a base ortogonal
\{\,u_{1},u_{2},u_{3}\} = \{(3,0,0),\,(0,3,0),\,(0,0,1)\}.
Se quisermos a base ortonormal, basta normalizar cada u_{k}, dando
\{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}.

Resposta

(a) Base ortogonal: \{(3,0,0),\,(0,3,0),\,(0,0,1)\}.
Base ortonormal: \{(1,0,0),\,(0,1,0),\,(0,0,1)\}.

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