Fazer a derivada de cada uma das funções a seguir, numeradas de 01 a 09.
09.
Resolução:
Essa função pode ser escrita assim:
09.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
- Função:
- Objetivo: encontrar
. - Observação importante sobre domínio: a expressão original exige
(raiz quadrada definida em números reais positivos), então a derivada só faz sentido para .
Passo 2
Reescrever a função usando potências é útil porque facilita a aplicação da regra de derivação. Lembre que
, então a recíproca é:
Portanto podemos trabalhar com
Passo 3
Apresentar a regra que vamos usar (regra da potência):
Explicando cada parte:
é a função que depende de
;
é o expoente (pode ser qualquer número real). A regra diz: multiplica-se por
e diminui-se o expoente em
. Exemplo rápido para fixar: se
, então
.
Passo 4
Aplicar a regra da potência à nossa função. Aqui
. Substituindo na fórmula:
Passo 5
Fazer a conta do expoente:
. Então
Passo 6
Reescrever de forma mais usual (sem expoente negativo) usando
. Observar também que
Portanto formas equivalentes da derivada são
Passo 7
Comentário final curto e motivador: a derivada é negativa para todo
, o que faz sentido porque
é uma função decrescente. Você já aprendeu a trocar raiz por potência, aplicar a regra da potência e manipular expoentes fracionários — isso resolve boa parte das derivadas que caem em prova sem sofrer!