Fazer a derivada de cada uma das funções a seguir, numeradas de 01 a 09.
09. \mathrm{y}=\frac{1}{\sqrt{\mathrm{x}}}

Resolução:

Essa função pode ser escrita assim:
\begin{aligned} & y=x^{-1 / 2} \\ & \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{2} \cdot x^{-\frac{1}{2}-1} \\ & \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2}-\frac{2}{2}}=-\frac{1}{2} x^{-3 / 2} \\ & \frac{d y}{d x}=-\frac{1}{2 \sqrt{x^{3}}} \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada da função dada. Informações fornecidas:
  • Função: y=\frac{1}{\sqrt{x}}.
  • Objetivo: encontrar \dfrac{dy}{dx}.
  • Observação importante sobre domínio: a expressão original exige x>0 (raiz quadrada definida em números reais positivos), então a derivada só faz sentido para x>0.

Passo 2

Reescrever a função usando potências é útil porque facilita a aplicação da regra de derivação. Lembre que \sqrt{x}=x^{1/2}, então a recíproca é:
\frac{1}{\sqrt{x}}=x^{-1/2}.
Portanto podemos trabalhar com
y=x^{-1/2}.

Passo 3

Apresentar a regra que vamos usar (regra da potência):
\text{Se }y=x^{n}\text{ com \(n\) constante, então }\frac{dy}{dx}=n\,x^{n-1}.ã
Explicando cada parte: y é a função que depende de x; n é o expoente (pode ser qualquer número real). A regra diz: multiplica-se por n e diminui-se o expoente em 1. Exemplo rápido para fixar: se y=x^{2}, então \dfrac{dy}{dx}=2x^{1}=2x.

Passo 4

Aplicar a regra da potência à nossa função. Aqui n=-\tfrac{1}{2}. Substituindo na fórmula:
\frac{dy}{dx}=(-\tfrac{1}{2})\,x^{-\tfrac{1}{2}-1}.

Passo 5

Fazer a conta do expoente: -\tfrac{1}{2}-1=-\tfrac{1}{2}-\tfrac{2}{2}=-\tfrac{3}{2}. Então
\frac{dy}{dx}=(-\tfrac{1}{2})\,x^{-\tfrac{3}{2}}.

Passo 6

Reescrever de forma mais usual (sem expoente negativo) usando x^{-\tfrac{3}{2}}=\dfrac{1}{x^{3/2}}. Observar também que
x^{3/2}=x^{1+\tfrac{1}{2}}=x\cdot x^{1/2}=x\sqrt{x}.
Portanto formas equivalentes da derivada são
\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2}x^{-\tfrac{3}{2}}=-\frac{1}{2x^{3/2}}=-\frac{1}{2x\sqrt{x}}=-\frac{1}{2\sqrt{x^{3}}}.

Passo 7

Comentário final curto e motivador: a derivada é negativa para todo x>0, o que faz sentido porque \dfrac{1}{\sqrt{x}} é uma função decrescente. Você já aprendeu a trocar raiz por potência, aplicar a regra da potência e manipular expoentes fracionários — isso resolve boa parte das derivadas que caem em prova sem sofrer!

Resposta

\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{2}x^{-\tfrac{3}{2}} = -\frac{1}{2x^{3/2}} = -\frac{1}{2x\sqrt{x}} = -\frac{1}{2\sqrt{x^{3}}}

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