(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada f^{\prime}(x)=\frac{d y}{d x} de cada função:
y=x^{2} \ln (x) \quad 2 x \ln (x)+x

Passo 1

O enunciado pede a derivada \displaystyle f'(x)=\frac{dy}{dx} da função dada. As informações fornecidas são:
  • A função é \displaystyle y = x^{2}\ln(x).
  • Devemos calcular \displaystyle \frac{dy}{dx}.
  • Observação importante de domínio: a função \displaystyle \ln(x) existe apenas para \displaystyle x>0, então a derivada será considerada para \displaystyle x>0.

Passo 2

Vou lembrar as regras de derivação que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa).
  • Regra do produto: se \displaystyle u(x) e \displaystyle v(x) são funções, então
\frac{d}{dx}\bigl[u(x)\,v(x)\bigr]=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x),
onde \displaystyle u'(x)=\frac{d}{dx}u(x) e \displaystyle v'(x)=\frac{d}{dx}v(x). Em palavras: a derivada do produto é “derivar a primeira vezes a segunda + a primeira vezes derivar a segunda”.
  • Regra do logaritmo natural: para \displaystyle x>0,
\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr]=\frac{1}{x}.
Isto significa que a inclinação da curva \ln(x) em cada x>0 é \tfrac{1}{x}.
  • Regra da potência (caso especial para potências de x): para qualquer número real n,
\frac{d}{dx}\bigl[x^{n}\bigr]=n\,x^{n-1}.
No nosso caso usaremos n=2, então \frac{d}{dx}[x^{2}]=2x.

Passo 3

Identificação das duas funções para aplicar a regra do produto:
  • Tome u(x)=x^{2}. Usando a regra da potência, sua derivada é
u'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[x^{2}\bigr]=2x.
  • Tome v(x)=\ln(x). Usando a regra do logaritmo,
v'(x)=\frac{d}{dx}\bigl[\ln(x)\bigr]=\frac{1}{x},
válido para \displaystyle x>0.

Passo 4

Aplicando a regra do produto \displaystyle \frac{d}{dx}[u v]=u'v+uv' com os u e v acima:
\frac{dy}{dx}=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x)=(2x)\ln(x)+x^{2}\cdot\frac{1}{x}.

Passo 5

Simplificação algébrica do segundo termo:
x^{2}\cdot\frac{1}{x}=x.

Passo 6

Escrevendo a derivada já simplificada e, se quiser, fatorando:
\frac{dy}{dx}=2x\ln(x)+x
e, fatorando \displaystyle x,
\frac{dy}{dx}=x\bigl(2\ln(x)+1\bigr),
válido para \displaystyle x>0.

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=2x\ln(x)+x = x\bigl(2\ln(x)+1\bigr)

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