(Regras de derivação) Utilize as regras de derivação para encontrar a derivada
de cada função:
Passo 1
O enunciado pede a derivada
da função dada. As informações fornecidas são:
- A função é
. - Devemos calcular
. - Observação importante de domínio: a função
existe apenas para , então a derivada será considerada para .
Passo 2
Vou lembrar as regras de derivação que vamos usar (explicando o que cada símbolo significa).
- Regra do produto: se
e são funções, então
onde
e
. Em palavras: a derivada do produto é “derivar a primeira vezes a segunda + a primeira vezes derivar a segunda”.
- Regra do logaritmo natural: para
,
Isto significa que a inclinação da curva
em cada
é
.
- Regra da potência (caso especial para potências de
): para qualquer número real ,
No nosso caso usaremos
, então
.
Passo 3
Identificação das duas funções para aplicar a regra do produto:
- Tome
. Usando a regra da potência, sua derivada é
- Tome
. Usando a regra do logaritmo,
válido para
.
Passo 4
Aplicando a regra do produto
com os
e
acima:
Passo 5
Simplificação algébrica do segundo termo:
Passo 6
Escrevendo a derivada já simplificada e, se quiser, fatorando:
e, fatorando
,
válido para
.