Uma partícula se desloca em linha reta e a sua posição S varia com o tempo t de acordo com a expressão \mathrm{S}=40+20 \mathrm{t}+\mathrm{t}^{2}(\mathrm{SI}). Pede-se:
a) A expressão da velocidade escalar v dessa partícula em função do tempo.
b) O valor da aceleração.

Passo 1

O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo e pede duas coisas. Dados fornecidos (peguei do enunciado):
  • A posição é S(t)=40+20\,t+t^{2} (unidades do SI, ou seja S em metros e t em segundos).
    O que o enunciado pede:
  • (a) A expressão da velocidade escalar v em função do tempo.
  • (b) O valor da aceleração (numérico ou em função do tempo, conforme apropriado).

Passo 2

O que significam as grandezas e o que vamos calcular (conceito aplicado ao exercício).
  • A velocidade escalar instantânea v(t) é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo; em linguagem matemática isso é a derivada de S(t) em relação a t.
  • A aceleração a(t) é a taxa de variação instantânea da velocidade em relação ao tempo; matematicamente é a derivada de v(t) em relação a t (ou a segunda derivada de S(t)).
Explicando a ideia de derivada de forma simples: se S(t) diz “onde” a partícula está em cada instante, a derivada dS/dt diz “com que rapidez e em que direção” essa posição muda por segundo — isto é a velocidade. Pense como o coeficiente angular de uma curva posição-tempo num ponto muito pequeno.

Passo 3

Relembrando regras básicas de derivação que vou usar (mini-aula prática).
  • Derivada de uma soma é a soma das derivadas:
\frac{d}{dt}\bigl(f(t)+g(t)\bigr)=\frac{df}{dt}+\frac{dg}{dt}.
  • Derivada de uma constante é zero:
\frac{d}{dt}\text{(C)}=0,\quad\text{onde \(C\) é constante.}é
  • Derivada de uma função linear k\,t (com k constante) é o coeficiente:
\frac{d}{dt}(k\,t)=k.
  • Regra do poder (power rule): para inteiro n,
\frac{d}{dt}\bigl(t^{n}\bigr)=n\,t^{\,n-1}.
Exemplo rápido: \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t.

Passo 4

Aplicando as regras ao problema para achar a velocidade \,v(t)=\dfrac{dS}{dt}\,.
Partimos de
S(t)=40+20\,t+t^{2}.
Derivamos termo a termo:
  • \dfrac{d}{dt}(40)=0 porque é constante.
  • \dfrac{d}{dt}(20\,t)=20 pela regra da derivada de k\,t.
  • \dfrac{d}{dt}(t^{2})=2t pela regra do poder.
Somando os resultados:
v(t)=\frac{dS}{dt}=0+20+2t=20+2t.

Passo 5

Interpretação e unidades da velocidade.
  • A expressão encontrada é \,v(t)=20+2t.
  • Como S estava em metros e t em segundos (SI), a unidade de v é metros por segundo, isto é v(t) está em \mathrm{m/s}.
  • Exemplo numérico: em t=0 temos v(0)=20\\ \mathrm{m/s}; em t=5 temos v(5)=20+2\cdot5=30\\ \mathrm{m/s}.

Passo 6

Calcular a aceleração a(t)=\dfrac{dv}{dt} (segunda derivada de S).
Partimos de v(t)=20+2t. Derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dt}(20)=0.
  • \dfrac{d}{dt}(2t)=2.
Logo
a(t)=\frac{dv}{dt}=0+2=2.
A unidade é metros por segundo ao quadrado, \mathrm{m/s^{2}}.

Passo 7

Interpretação final sobre a aceleração.
  • A aceleração é constante e igual a 2\\ \mathrm{m/s^{2}}. Isso significa que a velocidade aumenta de 2\\ \mathrm{m/s} a cada segundo (movimento uniformemente acelerado).
  • Caso precise da aceleração escrita como função do tempo, ela é simplesmente a(t)=2 (constante).

Resposta

(a) v(t)=20+2t\\ \mathrm{m/s}
(b) a=2\\ \mathrm{m/s^{2}}

Exercícios relacionados