Uma partícula se desloca em linha reta e a sua posição S varia com o tempo t de acordo com a expressão
. Pede-se:
a) A expressão da velocidade escalar v dessa partícula em função do tempo.
b) O valor da aceleração.
a) A expressão da velocidade escalar v dessa partícula em função do tempo.
b) O valor da aceleração.
Passo 1
O enunciado dá a posição da partícula em função do tempo e pede duas coisas. Dados fornecidos (peguei do enunciado):
- A posição é
(unidades do SI, ou seja em metros e em segundos).
O que o enunciado pede: - (a) A expressão da velocidade escalar
em função do tempo. - (b) O valor da aceleração (numérico ou em função do tempo, conforme apropriado).
Passo 2
O que significam as grandezas e o que vamos calcular (conceito aplicado ao exercício).
- A velocidade escalar instantânea
é a taxa de variação instantânea da posição em relação ao tempo; em linguagem matemática isso é a derivada de em relação a . - A aceleração
é a taxa de variação instantânea da velocidade em relação ao tempo; matematicamente é a derivada de em relação a (ou a segunda derivada de ).
Explicando a ideia de derivada de forma simples: se
diz “onde” a partícula está em cada instante, a derivada
diz “com que rapidez e em que direção” essa posição muda por segundo — isto é a velocidade. Pense como o coeficiente angular de uma curva posição-tempo num ponto muito pequeno.
Passo 3
Relembrando regras básicas de derivação que vou usar (mini-aula prática).
- Derivada de uma soma é a soma das derivadas:
- Derivada de uma constante é zero:
- Derivada de uma função linear
(com constante) é o coeficiente:
- Regra do poder (power rule): para inteiro
,
Exemplo rápido:
.
Passo 4
Aplicando as regras ao problema para achar a velocidade
.
Partimos de
Partimos de
Derivamos termo a termo:
-
porque é constante. -
pela regra da derivada de . -
pela regra do poder.
Somando os resultados:
Passo 5
Interpretação e unidades da velocidade.
- A expressão encontrada é
. - Como
estava em metros e em segundos (SI), a unidade de é metros por segundo, isto é está em . - Exemplo numérico: em
temos ; em temos .
Passo 6
Calcular a aceleração
(segunda derivada de
).
Partimos de . Derivando termo a termo:
Partimos de
-
. -
.
Logo
A unidade é metros por segundo ao quadrado,
.
Passo 7
Interpretação final sobre a aceleração.
- A aceleração é constante e igual a
. Isso significa que a velocidade aumenta de a cada segundo (movimento uniformemente acelerado). - Caso precise da aceleração escrita como função do tempo, ela é simplesmente
(constante).
Resposta
(a)
(b)
(b)