Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
Passo 1
O enunciado pede para esboçar os gráficos de quatro funções e indicar, em cada caso, os intervalos onde a concavidade está voltada para cima (onde a segunda derivada é positiva) ou para baixo (onde a segunda derivada é negativa). O conteúdo aqui é o teste de concavidade via segunda derivada e, para funções racionais, identificação de assíntotas.
Passo 2
Análise de
:
- Calculemos as derivadas:
- A inflexão ocorre onde
, ou seja em . - Sinal de
:
- Para
, ⇒ concavidade para baixo. - Para
, ⇒ concavidade para cima.
- Ponto de inflexão em
.
Passo 3
Análise de
:
- Derivadas:
- Inflection:
⇒ ⇒ . - Sinal de
:
- Para
, ⇒ concavidade para cima. - Para
, ⇒ concavidade para baixo.
- Ponto de inflexão em
.
Passo 4
Análise de
:
- Domínio:
. Há assíntotas verticais em e , e assíntota horizontal em (quando ). - Derivadas:
- Como
para todo , o sinal de vem apenas de :
- Se
, ⇒ : concavidade para cima em . - Se
, ⇒ ⇒ : concavidade para baixo em .
Passo 5
Análise de
:
- Domínio:
. Assíntotas verticais em , assíntota horizontal em . - Derivadas:
- Sinal de
:
- Numerador
tem sinal de . - Denominador
é positivo se , negativo se . - Logo:
- Em
: numerador <0 e denom. > : concavidade para baixo. - Em
: numerador >0 e denom. > : concavidade para cima. - Em
: numerador >0 e denom. < : concavidade para baixo. - Em
: numerador <0 e denom. < : concavidade para cima.
Resposta
f(x)=
−3x
- Concavidade para baixo em (−∞,0) e para cima em (0,∞) com inflexão em x
.
— Gráfico cúbico passando pela origem, ondulando de baixo para cima.
g(x)
−3
−2
- Concavidade para cima em (−∞,−½) e para baixo em (−½,∞) com inflexão em x=−½.
— Gráfico cai à direita, sobe à esquerda, inflexão em x=−½.
h(x)
/(1−
)
- Assíntotas verticais x
, horizontal y . - Concavidade para cima em (−1,1).
- Concavidade para baixo em (−∞,−1)∪(1,∞).
— Ramos hiperbólicos aproximando-se das assíntotas.
p(x)=x/(1−
)
- Assíntotas verticais x
, horizontal y . - Concavidade para baixo em (−1,0) e em (1,∞).
- Concavidade para cima em (0,1) e em (−∞,−1).
— Gráfico com inflexão em xe ramos hiperbólicos.