Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
Intervalos com a concavidade voltada para cima ou para baixo.
f(x)=x^{3}-3 x
g(x)=12-3 x^{2}-2 x^{3}
h(x)=\frac{1}{1-x^{2}}
p(x)=\frac{x}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para esboçar os gráficos de quatro funções e indicar, em cada caso, os intervalos onde a concavidade está voltada para cima (onde a segunda derivada é positiva) ou para baixo (onde a segunda derivada é negativa). O conteúdo aqui é o teste de concavidade via segunda derivada e, para funções racionais, identificação de assíntotas.

Passo 2

Análise de f(x)=x^{3}-3x:
  1. Calculemos as derivadas:
f'(x)=3x^{2}-3,
f''(x)=6x.
  1. A inflexão ocorre onde f''(x)=0, ou seja em x=0.
  2. Sinal de f''(x)=6x:
  • Para x<0, f''(x)<0 ⇒ concavidade para baixo.
  • Para x>0, f''(x)>0 ⇒ concavidade para cima.
  1. Ponto de inflexão em \bigl(0,f(0)\bigr)=(0,0).

Passo 3

Análise de g(x)=12-3x^{2}-2x^{3}:
  1. Derivadas:
g'(x)=-6x-6x^{2},
g''(x)=-6-12x.
  1. Inflection: g''(x)=0 -6-12x=0 x=-\tfrac12.
  2. Sinal de g''(x):
  • Para x<-\tfrac12, -6-12x>0 ⇒ concavidade para cima.
  • Para x>-\tfrac12, -6-12x<0 ⇒ concavidade para baixo.
  1. Ponto de inflexão em \bigl(-\tfrac12,g(-\tfrac12)\bigr).

Passo 4

Análise de h(x)=\frac{1}{1-x^{2}}:
  1. Domínio: x\neq\pm1. Há assíntotas verticais em x=1 e x=-1, e assíntota horizontal em y=0 (quando x\to\pm\infty).
  2. Derivadas:
h'(x)=\frac{2x}{(1-x^{2})^{2}},
h''(x)=\frac{2(1-x^{2})^{2}-2x\cdot 2(1-x^{2})(-2x)}{(1-x^{2})^{4}} =\frac{2(1-x^{2})+8x^{2}}{(1-x^{2})^{3}} =\frac{2+6x^{2}}{(1-x^{2})^{3}}.
  1. Como 2+6x^{2}>0 para todo x, o sinal de h''(x) vem apenas de (1-x^{2})^{3}:
  • Se |x|<1, 1-x^{2}>0 h''(x)>0: concavidade para cima em (-1,1).
  • Se |x|>1, 1-x^{2}<0 (1-x^{2})^{3}<0 h''(x)<0: concavidade para baixo em (-\infty,-1)\cup(1,\infty).

Passo 5

Análise de p(x)=\frac{x}{1-x^{2}}:
  1. Domínio: x\neq\pm1. Assíntotas verticais em x=\pm1, assíntota horizontal em y=0.
  2. Derivadas:
p'(x)=\frac{(1-x^{2})-x(-2x)}{(1-x^{2})^{2}} =\frac{1-x^{2}+2x^{2}}{(1-x^{2})^{2}} =\frac{1+x^{2}}{(1-x^{2})^{2}},
p''(x) =\frac{(2x)(1-x^{2})^{2}-(1+x^{2})\cdot 2(1-x^{2})(-2x)}{(1-x^{2})^{4}} =\frac{2x(1-x^{2})+4x(1+x^{2})}{(1-x^{2})^{3}} =\frac{2x-2x^{3}+4x+4x^{3}}{(1-x^{2})^{3}} =\frac{6x+2x^{3}}{(1-x^{2})^{3}} =\frac{2x(3+x^{2})}{(1-x^{2})^{3}}.
  1. Sinal de p''(x):
  • Numerador 2x(3+x^{2}) tem sinal de x.
  • Denominador (1-x^{2})^{3} é positivo se |x|<1, negativo se |x|>1.
  • Logo:
  • Em (-1,0): numerador <0 e denom. > 0\Rightarrow p''(x)<0: concavidade para baixo.
  • Em (0,1): numerador >0 e denom. > 0\Rightarrow p''(x)>0: concavidade para cima.
  • Em (1,\infty): numerador >0 e denom. < 0\Rightarrow p''(x)<0: concavidade para baixo.
  • Em (-\infty,-1): numerador <0 e denom. < 0\Rightarrow p''(x)>0: concavidade para cima.

Resposta

f(x)= x^{3}−3x
  • Concavidade para baixo em (−∞,0) e para cima em (0,∞) com inflexão em x =0.
    — Gráfico cúbico passando pela origem, ondulando de baixo para cima.
g(x) =12−3 x^{2}−2 x^{3}
  • Concavidade para cima em (−∞,−½) e para baixo em (−½,∞) com inflexão em x=−½.
    — Gráfico cai à direita, sobe à esquerda, inflexão em x=−½.
h(x) =1/(1− x^{2})
  • Assíntotas verticais x =\pm 1, horizontal y =0.
  • Concavidade para cima em (−1,1).
  • Concavidade para baixo em (−∞,−1)∪(1,∞).
    — Ramos hiperbólicos aproximando-se das assíntotas.
p(x)=x/(1− x^{2})
  • Assíntotas verticais x =\pm 1, horizontal y =0.
  • Concavidade para baixo em (−1,0) e em (1,∞).
  • Concavidade para cima em (0,1) e em (−∞,−1).
    — Gráfico com inflexão em x =0 e ramos hiperbólicos.

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