Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
Intervalos de crescimento ou decrescimento;
Intervalos de crescimento ou decrescimento;
Passo 1
O enunciado pede que a gente esboce, sem muita precisão de cálculo de coordenadas, os gráficos de quatro funções e, em cada caso, indique onde elas crescem ou decrescem. O conteúdo principal aqui é derivada para testar monotonicidade e, no caso das funções racionais, também identificar domínios e assíntotas (verticais e horizontais).
Passo 2
Função
- Derivada:
- Zeros de
: e . - Sinal de
:
- Para
, e , logo . - Para
, , mas , logo . - Para
, ambos fatores são positivos, então .
- Conclusão de monotonicidade:
- Crescente em
e em . - Decrescente em
.
- Esboço: curva cúbica com “ponto de inflexão” em
, máximo relativo em (valor ) e mínimo relativo em (valor ).
Passo 3
Função
- Podemos reescrever
como . - Derivada:
- Zeros de
: e . - Sinal de
:
- Para
, e ⇒ ⇒ . - Para
, mas ⇒ ⇒ . - Para
, e ⇒ ⇒ .
- Conclusão de monotonicidade:
- Decrescente em
. - Crescente em
. - Decrescente em
.
- Pontos notáveis:
-
(mínimo relativo). -
(máximo relativo).
- Esboço: cai até
, sobe até e depois desce indefinidamente.
Passo 4
Função
- Domínio:
. - Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
. - Derivada (quociente):
- Como
sempre, o sinal de é o de :
- Para
, ⇒ decrescente. - Para
, ⇒ crescente.
- Esboço nos quatro intervalos de domínio:
- Em
: decrescente de (quando ) até (quando ). - Em
: decrescente de (em ) até (em ). - Em
: crescente de até . - Em
: crescente de até .
Passo 5
Função
- Domínio:
. - Assíntotas verticais:
e . - Assíntota horizontal:
. - Derivada:
- Como
e em todo o domínio, . - Conclusão:
é estritamente crescente em cada um dos intervalos , e . - Esboço: sobe de
(em ) até (quando ), salta para (em ), sobe até (em ), salta para (em ) e segue subindo para (em ).
Resposta
f(x)=
–3x
- Cresce em (–∞,–1) e (1,∞)
- Decresce em (–1,1)
g(x)
–3
–2
- Decresce em (–∞,–1)
- Cresce em (–1,0)
- Decresce em (0,∞)
h(x)
/(1–
)
- Domínio: x
- Decresce em (–∞,0)
- Cresce em (0,∞)
- Assíntotas verticais em x
, horizontal em y
p(x)=x/(1–
)
- Domínio: x
- Cresce estritamente em cada intervalo de domínio: (–∞,–1), (–1,1), (1,∞)
- Assíntotas verticais em x
, horizontal em y