Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
Intervalos de crescimento ou decrescimento;
f(x)=x^{3}-3 x
g(x)=12-3 x^{2}-2 x^{3}
h(x)=\frac{1}{1-x^{2}}
p(x)=\frac{x}{1-x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede que a gente esboce, sem muita precisão de cálculo de coordenadas, os gráficos de quatro funções e, em cada caso, indique onde elas crescem ou decrescem. O conteúdo principal aqui é derivada para testar monotonicidade e, no caso das funções racionais, também identificar domínios e assíntotas (verticais e horizontais).

Passo 2

Função f(x)=x^{3}-3x
  1. Derivada:
f'(x)=3x^{2}-3=3\bigl(x^{2}-1\bigr)=3(x-1)(x+1).
  1. Zeros de f': x=-1 e x=1.
  2. Sinal de f':
  • Para x<-1, (x-1)<0 e (x+1)<0, logo f'>0.
  • Para -1<x<1, (x+1)>0, mas (x-1)<0, logo f'<0.
  • Para x>1, ambos fatores são positivos, então f'>0.
  1. Conclusão de monotonicidade:
  • Crescente em (-\infty,-1) e em (1,\infty).
  • Decrescente em (-1,1).
  1. Esboço: curva cúbica com “ponto de inflexão” em x=0, máximo relativo em x=-1 (valor f(-1)=2) e mínimo relativo em x=1 (valor f(1)=-2).

Passo 3

Função g(x)=12-3x^{2}-2x^{3}
  1. Podemos reescrever g como -2x^{3}-3x^{2}+12.
  2. Derivada:
g'(x)=-6x^{2}-6x=-6x(x+1).
  1. Zeros de g': x=0 e x=-1.
  2. Sinal de g':
  • Para x<-1, x< -1 e x+1<0 x(x+1)>0 g'<0.
  • Para -1<x<0, x<0 mas x+1>0 x(x+1)<0 g'>0.
  • Para x>0, x>0 e x+1>0 x(x+1)>0 g'<0.
  1. Conclusão de monotonicidade:
  • Decrescente em (-\infty,-1).
  • Crescente em (-1,0).
  • Decrescente em (0,\infty).
  1. Pontos notáveis:
  • g(-1)=12-3\cdot1-2(-1)=11 (mínimo relativo).
  • g(0)=12 (máximo relativo).
  1. Esboço: cai até (-1,11), sobe até (0,12) e depois desce indefinidamente.

Passo 4

Função \displaystyle h(x)=\frac{1}{1-x^{2}}
  1. Domínio: x\neq\pm1.
  2. Assíntotas verticais: x=1 e x=-1.
  3. Assíntota horizontal: \lim_{x\to\pm\infty}h(x)=0.
  4. Derivada (quociente):
h'(x)=\frac{0\cdot(1-x^{2})-1\cdot(-2x)}{(1-x^{2})^{2}} =\frac{2x}{(1-x^{2})^{2}}.
  1. Como (1-x^{2})^{2}>0 sempre, o sinal de h' é o de 2x:
  • Para x<0, h'<0 ⇒ decrescente.
  • Para x>0, h'>0 ⇒ crescente.
  1. Esboço nos quatro intervalos de domínio:
  • Em (-\infty,-1): decrescente de 0^{-} (quando x\to-\infty) até -\infty (quando x\to-1^{-}).
  • Em (-1,0): decrescente de +\infty (em -1^{+}) até 1 (em 0).
  • Em (0,1): crescente de 1 até +\infty.
  • Em (1,\infty): crescente de -\infty até 0^{+}.

Passo 5

Função \displaystyle p(x)=\frac{x}{1-x^{2}}
  1. Domínio: x\neq\pm1.
  2. Assíntotas verticais: x=1 e x=-1.
  3. Assíntota horizontal: \lim_{x\to\pm\infty}p(x)=0.
  4. Derivada:
p'(x) =\frac{1\cdot(1-x^{2})-x\cdot(-2x)}{(1-x^{2})^{2}} =\frac{1 - x^{2} + 2x^{2}}{(1-x^{2})^{2}} =\frac{1+x^{2}}{(1-x^{2})^{2}}.
  1. Como 1+x^{2}>0 e (1-x^{2})^{2}>0 em todo o domínio, p'(x)>0.
  2. Conclusão: p é estritamente crescente em cada um dos intervalos (-\infty,-1), (-1,1) e (1,\infty).
  3. Esboço: sobe de 0^{+} (em -\infty) até +\infty (quando x\to-1^{-}), salta para -\infty (em -1^{+}), sobe até +\infty (em 1^{-}), salta para -\infty (em 1^{+}) e segue subindo para 0^{-} (em +\infty).

Resposta

f(x)= x^{3}–3x
  • Cresce em (–∞,–1) e (1,∞)
  • Decresce em (–1,1)
g(x) =12–3 x^{2}–2 x^{3}
  • Decresce em (–∞,–1)
  • Cresce em (–1,0)
  • Decresce em (0,∞)
h(x) =1/(1– x^{2})
  • Domínio: x \neq\pm 1
  • Decresce em (–∞,0)
  • Cresce em (0,∞)
  • Assíntotas verticais em x =\pm 1, horizontal em y =0
p(x)=x/(1– x^{2})
  • Domínio: x \neq\pm 1
  • Cresce estritamente em cada intervalo de domínio: (–∞,–1), (–1,1), (1,∞)
  • Assíntotas verticais em x =\pm 1, horizontal em y =0

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