Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
O que ocorre nos extremos do domínio da função;
O que ocorre nos extremos do domínio da função;
Passo 1
O que a gente precisa fazer é esboçar o gráfico de quatro funções — duas polinomiais e duas racionais — e indicar o que acontece nos extremos do domínio (incluindo comportamentos em
e em pontos onde a função não está definida). Para isso vamos estudar domínio, assintotas, derivadas (para polinomiais), pontos críticos, zeros e sinais, e então juntar tudo no esboço qualitativo.
Passo 2
Análise de
Domínio: todos os reais.
Derivada:
Domínio: todos os reais.
Derivada:
que zera em
. Como
para
e
para
, temos máximo local em
e mínimo local em
. Valores:
Zer os:
dá
.
Comportamento nos extremos:
Comportamento nos extremos:
Interpretação do esboço: curva ímpar (simétrica em relação à origem), sobe para
à direita, desce passando por
, atinge mínimo em
, sobe até máximo em
e desce para
à esquerda.
Passo 3
Análise de
Domínio: todos os reais.
Derivada:
Domínio: todos os reais.
Derivada:
Pontos críticos em
e
. Sinal de
:
para ,
(decrescente);
para ,
(crescente);
para ,
(decrescente).
Logo mínimo em com
para
para
para
Logo mínimo em
e máximo em
com
.
Comportamento nos extremos: termo dominante é , então
Comportamento nos extremos: termo dominante é
Zero aproximado não é “bonito”, mas cruza o eixo uma vez para
. No esboço marcamos o máximo em
, o mínimo em
e a curva decrescente para as duas pontas.
Passo 4
Análise de
Domínio: .
Assíntotas verticais em .
Domínio:
Assíntotas verticais em
e analogamente em
.
Assíntota horizontal: para ,
Assíntota horizontal: para
logo
por baixo.
Intercepto em :
.
Esboço: dois ramos, um em que vem de
, cai para
em
; outro em
que sai de
em
, cruza em
, cai para
em
; e mais um em
que sobe de
em
e vai a
.
Intercepto em
Esboço: dois ramos, um em
Passo 5
Análise de
Domínio: .
Assíntotas verticais em .
Sinais perto de : para
, denominador
e
, logo
; para
, denom negativo,
. Análogo em
trocando sinais.
Assíntota horizontal:
Domínio:
Assíntotas verticais em
Sinais perto de
Assíntota horizontal:
com lado de aproximação variando conforme o sinal de
.
Intercepto: .
Esboço: três ramos — em vem de
e cai para
em
; em
sai de
em
, passa por
, sobe a
em
; e em
sai de
em
e tende a
.
Intercepto:
Esboço: três ramos — em
Resposta
f(x)=
−3x
- Domínio: ℝ
- Máximo local em (−1,2), mínimo em (1,−2)
- Zeros em x
,±√3 - x
f , x→− f→−∞ - Curva ímpar, sobe à direita e desce à esquerda
g(x)
−3
−2
- Domínio: ℝ
- Mínimo local em (−1,11), máximo em (0,12)
- x
g→−∞, x→− g - Forma de “S” invertido, decresce fora de [−1,0] e cresce dentro
h(x)
/(1−
)
- Domínio: x
- Assíntotas verticais em x
; assíntota horizontal y (por baixo) - h(0)
- Quatro ramos: (−∞,−1), (−1,1), (1,∞) conforme descrito
p(x)=x/(1−
)
- Domínio: x
- Assíntotas verticais x
; assíntota horizontal y - Intercepto em (0,0)
- Três ramos: (−∞,−1), (−1,1), (1,∞) conforme descrito acima.