Fazer um esboço do gráfico de cada uma das seguintes funções, indicando (se existir):
O que ocorre nos extremos do domínio da função;
f(x)=x^{3}-3 x
g(x)=12-3 x^{2}-2 x^{3}
h(x)=\frac{1}{1-x^{2}}
p(x)=\frac{x}{1-x^{2}}

Passo 1

O que a gente precisa fazer é esboçar o gráfico de quatro funções — duas polinomiais e duas racionais — e indicar o que acontece nos extremos do domínio (incluindo comportamentos em x\to\pm\infty e em pontos onde a função não está definida). Para isso vamos estudar domínio, assintotas, derivadas (para polinomiais), pontos críticos, zeros e sinais, e então juntar tudo no esboço qualitativo.

Passo 2

Análise de f(x)=x^3-3x
Domínio: todos os reais.
Derivada:
f'(x)=3x^2-3=3(x^2-1),
que zera em x=\pm1. Como f'>0 para |x|>1 e f'<0 para |x|<1, temos máximo local em x=-1 e mínimo local em x=1. Valores:
f(-1)=(-1)^3-3(-1)=2,\quad f(1)=1-3=-2.
Zer os: x(x^2-3)=0 x=0,\pm\sqrt{3}.
Comportamento nos extremos:
x\to+\infty\implies f(x)\to+\infty,\quad x\to-\infty\implies f(x)\to-\infty.
Interpretação do esboço: curva ímpar (simétrica em relação à origem), sobe para +\infty à direita, desce passando por (\sqrt3,0), atinge mínimo em (1,-2), sobe até máximo em (-1,2) e desce para -\infty à esquerda.

Passo 3

Análise de g(x)=12-3x^2-2x^3
Domínio: todos os reais.
Derivada:
g'(x)=-6x-6x^2=-6x(1+x).
Pontos críticos em x=0 e x=-1. Sinal de g':
para x<-1, g'<0 (decrescente);
para -1<x<0, g'>0 (crescente);
para x>0, g'<0 (decrescente).
Logo mínimo em x=-1 com
g(-1)=12-3\cdot1-2(-1)^3=11,
e máximo em x=0 com g(0)=12.
Comportamento nos extremos: termo dominante é -2x^3, então
x\to+\infty\implies g(x)\to-\infty,\quad x\to-\infty\implies g(x)\to+\infty.
Zero aproximado não é “bonito”, mas cruza o eixo uma vez para x>0. No esboço marcamos o máximo em (0,12), o mínimo em (-1,11) e a curva decrescente para as duas pontas.

Passo 4

Análise de h(x)=\frac{1}{1-x^2}
Domínio: x\neq\pm1.
Assíntotas verticais em x=\pm1.
\lim_{x\to1^-}h(x)=+\infty,\quad \lim_{x\to1^+}h(x)=-\infty,
e analogamente em x=-1.
Assíntota horizontal: para x\to\pm\infty,
h(x)\approx-\frac1{x^2}\to0^-,
logo y=0 por baixo.
Intercepto em x=0: h(0)=1.
Esboço: dois ramos, um em (-\,\infty,-1) que vem de 0^-, cai para -\infty em -1^-; outro em (-1,1) que sai de +\infty em -1^+, cruza em (0,1), cai para -\infty em 1^-; e mais um em (1,+\infty) que sobe de +\infty em 1^+ e vai a 0^-.

Passo 5

Análise de p(x)=\frac{x}{1-x^2}
Domínio: x\neq\pm1.
Assíntotas verticais em x=\pm1.
Sinais perto de x=1: para x\to1^-, denominador 1-x^2\to0^+ e x>0, logo p\to+\infty; para x\to1^+, denom negativo, p\to-\infty. Análogo em x=-1 trocando sinais.
Assíntota horizontal:
p(x)=\frac{x}{-x^2+1}=-\frac1x\frac{1}{1-1/x^2}\approx -\frac1x\to0
com lado de aproximação variando conforme o sinal de x.
Intercepto: (0,0).
Esboço: três ramos — em (-\,\infty,-1) vem de 0^+ e cai para -\infty em -1^-; em (-1,1) sai de +\infty em -1^+, passa por (0,0), sobe a +\infty em 1^-; e em (1,+\infty) sai de -\infty em 1^+ e tende a 0^-.

Resposta

f(x)= x^{3}−3x
  • Domínio: ℝ
  • Máximo local em (−1,2), mínimo em (1,−2)
  • Zeros em x =0,±√3
  • x \to+\infty\Rightarrow f \to+\infty, x→− \infty\Rightarrow f→−∞
  • Curva ímpar, sobe à direita e desce à esquerda
g(x) =12−3 x^{2}−2 x^{3}
  • Domínio: ℝ
  • Mínimo local em (−1,11), máximo em (0,12)
  • x \to+\infty\Rightarrow g→−∞, x→− \infty\Rightarrow g \to+\infty
  • Forma de “S” invertido, decresce fora de [−1,0] e cresce dentro
h(x) =1/(1− x^{2})
  • Domínio: x \neq\pm 1
  • Assíntotas verticais em x =\pm 1; assíntota horizontal y =0 (por baixo)
  • h(0) =1
  • Quatro ramos: (−∞,−1), (−1,1), (1,∞) conforme descrito
p(x)=x/(1− x^{2})
  • Domínio: x \neq\pm 1
  • Assíntotas verticais x =\pm 1; assíntota horizontal y =0
  • Intercepto em (0,0)
  • Três ramos: (−∞,−1), (−1,1), (1,∞) conforme descrito acima.

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