Calcule a integral.
\int \frac{\sqrt{x-2}}{x+2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\displaystyle \int \frac{\sqrt{x-2}}{x+2}\,dx.
O conteúdo é integração por substituição, para eliminar a raiz e transformar em uma integral racional.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = \sqrt{x-2},
então
x = t^2 + 2, \quad dx = 2t\,dt.
O numerador \sqrt{x-2}\,dx vira t\cdot 2t\,dt = 2t^2\,dt e o denominador x+2 fica t^2+4.

Passo 3

Substituindo na integral, obtemos
\int \frac{\sqrt{x-2}}{x+2}\,dx = \int \frac{2t^2}{t^2+4}\,dt = 2\int \frac{t^2}{t^2+4}\,dt.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int \frac{t^2}{t^2+4}\,dt, fazemos a divisão:
\frac{t^2}{t^2+4} = 1 - \frac{4}{t^2+4}.
Assim,
2\int \frac{t^2}{t^2+4}\,dt = 2\int 1\,dt \;-\; 2\int \frac{4}{t^2+4}\,dt = 2t \;-\; 8\int \frac{1}{t^2+4}\,dt.
Sabemos que
\int \frac{1}{t^2+a^2}\,dt = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{a}\bigr).
Aqui a=2, logo
\int \frac{1}{t^2+4}\,dt = \frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr).
Substituindo de volta:
2t - 8\cdot\frac{1}{2}\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr) = 2t - 4\arctan\!\bigl(\tfrac{t}{2}\bigr) + C.

Passo 5

Volta à variável x usando t=\sqrt{x-2}. O resultado final é
2\sqrt{x-2} \;-\; 4\arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{x-2}}{2}\bigr) + C.

Resposta

2\sqrt{x-2} - 4\arctan\!\bigl(\tfrac{\sqrt{x-2}}{2}\bigr) + C

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