Questão 3 ( 10 pontos) Seja
.
(a) Determine os pontos críticos de
se houver.
(b) Classifique cada um dos pontos críticos em ponto de ocorrência de valor mínimo local, de valor máximo local ou de ponto de sela da superfície
.
(c) Se houver, quais são os valores máximos e mínimos locais de
?
(a) Determine os pontos críticos de
(b) Classifique cada um dos pontos críticos em ponto de ocorrência de valor mínimo local, de valor máximo local ou de ponto de sela da superfície
(c) Se houver, quais são os valores máximos e mínimos locais de
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede:
(a) os pontos críticos, onde o gradiente de se anula;
(b) a classificação de cada ponto (mínimo local, máximo local ou sela) via matriz Hessiana;
(c) os valores desses extremos locais, se existirem.
(a) os pontos críticos, onde o gradiente de
(b) a classificação de cada ponto (mínimo local, máximo local ou sela) via matriz Hessiana;
(c) os valores desses extremos locais, se existirem.
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais para obter o gradiente
:
Igualamos a zero:
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
e então
dá os pontos críticos
Passo 3
Formamos a matriz Hessiana
com as segundas derivadas:
O discriminante é
Em cada ponto:
- Em
: , ,
e
, logo é ponto de máximo local.
- Em
: , ,
sinal de sela, ou seja, ponto de sela.
Passo 4
Calculamos o valor de
em cada ponto crítico para ver os extremos locais:
O ponto de sela não é extremo. Logo, o único extremo local é um máximo em
com valor
.
Resposta
(a) Pontos críticos:
e
.
(b) é máximo local;
é ponto de sela.
(c) Valor máximo local: . Não há mínimo local.
(b)
(c) Valor máximo local: