Questão 3 ( 10 pontos) Seja f(x, y)=x^{3}+2 x y-2 x^{2}-2 y^{2}.
(a) Determine os pontos críticos de f(x, y) se houver.
(b) Classifique cada um dos pontos críticos em ponto de ocorrência de valor mínimo local, de valor máximo local ou de ponto de sela da superfície z=f(x, y).
(c) Se houver, quais são os valores máximos e mínimos locais de f(x, y) ?

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}+2xy-2x^{2}-2y^{2}
e pede:
(a) os pontos críticos, onde o gradiente de f se anula;
(b) a classificação de cada ponto (mínimo local, máximo local ou sela) via matriz Hessiana;
(c) os valores desses extremos locais, se existirem.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para obter o gradiente \nabla f=(f_x,f_y):
f_x=\frac{\partial f}{\partial x}=3x^2+2y-4x,
f_y=\frac{\partial f}{\partial y}=2x-4y.
Igualamos a zero:
3x^2-4x+2y=0,\quad 2x-4y=0.
Da segunda equação vem y=\tfrac12x. Substituindo na primeira:
3x^2-4x+2\Bigl(\tfrac12x\Bigr)=3x^2-4x+x=3x^2-3x=0
\implies 3x(x-1)=0\;\Longrightarrow\;x=0\text{ ou }x=1,
e então y=\tfrac12x dá os pontos críticos
(0,0)\quad\text{e}\quad\bigl(1,\tfrac12\bigr).

Passo 3

Formamos a matriz Hessiana H com as segundas derivadas:
f_{xx}=6x-4,\quad f_{yy}=-4,\quad f_{xy}=f_{yx}=2.
O discriminante é
D(x,y)=f_{xx}f_{yy}-\bigl(f_{xy}\bigr)^2.
Em cada ponto:
  • Em (0,0): f_{xx}=-4, f_{yy}=-4, f_{xy}=2
D(0,0)=(-4)(-4)-2^2=16-4=12>0,
e f_{xx}(0,0)=-4<0, logo é ponto de máximo local.
  • Em \bigl(1,\tfrac12\bigr): f_{xx}=6-4=2, f_{yy}=-4, f_{xy}=2
D\Bigl(1,\tfrac12\Bigr)=2\cdot(-4)-2^2=-8-4=-12<0,
sinal de sela, ou seja, ponto de sela.

Passo 4

Calculamos o valor de f em cada ponto crítico para ver os extremos locais:
f(0,0)=0^3+2\cdot0\cdot0-2\cdot0^2-2\cdot0^2=0,
f\Bigl(1,\tfrac12\Bigr)=1^3+2\cdot1\cdot\tfrac12-2\cdot1^2-2\cdot\bigl(\tfrac12\bigr)^2 =1+1-2-2\cdot\tfrac14=2-2-\tfrac12=-\tfrac12.
O ponto de sela não é extremo. Logo, o único extremo local é um máximo em (0,0) com valor 0.

Resposta

(a) Pontos críticos: (0,0) e \bigl(1,\tfrac12\bigr).
(b) (0,0) é máximo local; \bigl(1,\tfrac12\bigr) é ponto de sela.
(c) Valor máximo local: f(0,0)=0. Não há mínimo local.

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