Questão 2 (10 pontos) Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array}\right..
(a) Mostre que f é contínua em (0,0).
(b) Mostre que f não é diferenciável em (0,0).

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \dfrac{x\,y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}},&(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede (a) mostrar que f é contínua em (0,0) e (b) que f não é diferenciável em (0,0). Vamos usar, para (a), estimativas que mostrem \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0, e, para (b), a definição de diferenciabilidade em várias variáveis, testando o quociente
\frac{f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}
para o candidato L(h,k)=0.

Passo 2

Para (a), note que, definindo r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, temos
|x\,y|\le\frac{x^{2}+y^{2}}{2}=\frac{r^{2}}{2}.
Logo, quando (x,y)\neq(0,0),
\bigl|f(x,y)\bigr| =\frac{|x\,y|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} \le\frac{\frac{r^{2}}{2}}{r} =\frac{r}{2}.
Como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), segue que \bigl|f(x,y)\bigr|\to0.

Passo 3

Concluímos que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0=f(0,0),
portanto f é contínua em (0,0).

Passo 4

Para testar diferenciabilidade em (0,0), calculamos as derivadas parciais por definição ao longo dos eixos. Por exemplo,
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0,
e de modo análogo \partial f/\partial y(0,0)=0. O candidato a diferencial linear é, então,
L(h,k)=0\cdot h+0\cdot k=0.

Passo 5

A definição de diferenciabilidade exige
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}} =0.
Escolhemos a reta k=h. Então, para h\neq0,
f(h,h) =\frac{h\cdot h}{\sqrt{h^{2}+h^{2}}} =\frac{h^{2}}{|h|\sqrt{2}} =\frac{|h|}{\sqrt{2}},
e o quociente fica
\frac{f(h,h)-0}{\sqrt{h^{2}+h^{2}}} =\frac{\frac{|h|}{\sqrt{2}}}{|h|\sqrt{2}} =\frac{1}{2}.
Como esse limite ao longo de k=h é \tfrac12\neq0, não satisfaz a exigência da diferenciabilidade.

Resposta

(a) f é contínua em (0,0).
(b) f não é diferenciável em (0,0).

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