Questão 2 (10 pontos) Seja f(x, y)=\left\{\begin{array}{ccc}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} & \text { se } & (x, y) \neq(0,0) \\\\ 0 & \text { se } & (x, y)=(0,0)\end{array}\right..
(a) Mostre que f é contínua em (0,0).
(b) Mostre que f não é diferenciável em (0,0).
e pede (a) mostrar que f é contínua em (0,0) e (b) que f não é diferenciável em (0,0). Vamos usar, para (a), estimativas que mostrem \lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=0, e, para (b), a definição de diferenciabilidade em várias variáveis, testando o quociente
\frac{f(h,k)-f(0,0)-L(h,k)}{\sqrt{h^{2}+k^{2}}}
para o candidato L(h,k)=0.
Passo 2
Para (a), note que, definindo r=\sqrt{x^{2}+y^{2}}, temos