Considere a função
e o ponto
. Calcular:
a) o gradiente de
no ponto
;
b) a derivada direcional máxima de
no ponto
;
c) a derivada direcional de
no ponto
, na direção
;
d) a equação do plano tangente à superfície definida por
no ponto (
);
e) a equação da reta normal à superficie definida por
no ponto (
).
a) o gradiente de
b) a derivada direcional máxima de
c) a derivada direcional de
d) a equação do plano tangente à superfície definida por
e) a equação da reta normal à superficie definida por
Passo 1
O enunciado dá a função
e o ponto
. Pede cinco itens:
a) o gradiente de no ponto
;
b) a derivada direcional máxima de em
;
c) a derivada direcional de em
na direção
;
d) a equação do plano tangente à superfície no ponto
;
e) a equação da reta normal à superfície no ponto
.
a) o gradiente de
b) a derivada direcional máxima de
c) a derivada direcional de
d) a equação do plano tangente à superfície
e) a equação da reta normal à superfície
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - O ponto na projeção é
e o ponto na superfície é porque .
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais
e
, mostrando passo a passo a regra usada.
Regra usada: se
então
(regra do poder).
Como , ao derivar em relação a
tratamos
como constante:
Como
Ao derivar em relação a
tratamos
como constante:
Agora avalio em
. Como
,
Passo 3
Definição e cálculo do gradiente: o gradiente de
é o vetor formado pelas derivadas parciais,
No ponto
isso dá
Interpretação breve (útil na prova): a direção do vetor
é a direção de maior crescimento de
e suas componentes dizem quanto
varia por unidade de
e por unidade de
naquele ponto.
Passo 4
Derivada direcional máxima: para uma função diferenciável a derivada direcional na direção do vetor unitário
vale
A derivada direcional máxima ocorre quando
tem a mesma direção do gradiente; o valor máximo é o comprimento (norma) do gradiente:
Calculo da norma:
(Se precisar do vetor direção unitário correspondente:
.)
Passo 5
Derivada direcional na direção
: a direção no plano XY correspondente ao ângulo
é o vetor unitário
A derivada direcional é o produto escalar com o gradiente:
Passo 6
Equação do plano tangente: para
a equação do plano tangente em
é dada pela aproximação linear
Aqui
e
,
. Assim
Simplificando:
Passo 7
Equação da reta normal: a reta normal à superfície
Forma simétrica (quando convenientes): (\dfrac{x-4}{2}=\dfrac{y-1}{16}=\dfrac{z-16}{-1}].]
Resposta
a)
b)
c)
d)
e)
b)
c)
d)
e)