(3,0) Considere a função f(x, y)=8 y \sqrt{x} e o ponto P=(4,1). Calcular:
a) o gradiente de f no ponto P;
b) a derivada direcional máxima de f no ponto P;
c) a derivada direcional de f no ponto P, na direção \theta=\pi / 6;
d) a equação do plano tangente à superfície definida por f no ponto ( 4,1,16 );
e) a equação da reta normal à superficie definida por f no ponto ( 4,1,16 ).

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=8y\sqrt{x} e o ponto P=(4,1). Pede cinco itens:
a) o gradiente de f no ponto P;
b) a derivada direcional máxima de f em P;
c) a derivada direcional de f em P na direção \theta=\pi/6;
d) a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (4,1,16);
e) a equação da reta normal à superfície z=f(x,y) no ponto (4,1,16).
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x,y)=8y\sqrt{x}=8y x^{1/2}.
  • O ponto na projeção é P=(4,1) e o ponto na superfície é (4,1,16) porque f(4,1)=8\cdot1\cdot\sqrt{4}=16.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais \partial f/\partial x e \partial f/\partial y, mostrando passo a passo a regra usada.
Regra usada: se g(x)=x^{1/2} então g'(x)=\dfrac{1}{2}x^{-1/2}=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} (regra do poder).
Como f(x,y)=8y\cdot x^{1/2}, ao derivar em relação a x tratamos y como constante:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y)=8y\cdot\frac{d}{dx}\bigl(x^{1/2}\bigr)=8y\cdot\frac{1}{2}x^{-1/2}=4y\,x^{-1/2}=\frac{4y}{\sqrt{x}}.
Ao derivar em relação a y tratamos x como constante:
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)=8\sqrt{x}.
Agora avalio em P=(4,1). Como \sqrt{4}=2,
\frac{\partial f}{\partial x}(4,1)=\frac{4\cdot1}{\sqrt{4}}=\frac{4}{2}=2, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(4,1)=8\sqrt{4}=8\cdot2=16.

Passo 3

Definição e cálculo do gradiente: o gradiente de f é o vetor formado pelas derivadas parciais,
\nabla f(x,y)=\left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial f}{\partial y}(x,y)\right).
No ponto P isso dá
\nabla f(4,1)=\bigl(2,\;16\bigr).
Interpretação breve (útil na prova): a direção do vetor \nabla f(4,1) é a direção de maior crescimento de f e suas componentes dizem quanto f varia por unidade de x e por unidade de y naquele ponto.

Passo 4

Derivada direcional máxima: para uma função diferenciável a derivada direcional na direção do vetor unitário u vale
D_{\!u}f(4,1)=\nabla f(4,1)\cdot u.
A derivada direcional máxima ocorre quando u tem a mesma direção do gradiente; o valor máximo é o comprimento (norma) do gradiente:
\max_{\|u\|=1} D_{\!u}f(4,1)=\|\nabla f(4,1)\|.
Calculo da norma:
\|\nabla f(4,1)\|=\sqrt{2^{2}+16^{2}}=\sqrt{4+256}=\sqrt{260}=2\sqrt{65}.
(Se precisar do vetor direção unitário correspondente: u_{\text{máx}}=\dfrac{\nabla f(4,1)}{\|\nabla f(4,1)\}}=\dfrac{(2,16)}{2\sqrt{65}}=\dfrac{(1,8)}{\sqrt{65}}á.)

Passo 5

Derivada direcional na direção \theta=\pi/6: a direção no plano XY correspondente ao ângulo \theta é o vetor unitário
u=(\cos\theta,\sin\theta)=\Bigl(\cos\frac{\pi}{6},\sin\frac{\pi}{6}\Bigr)=\Bigl(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\Bigr).
A derivada direcional é o produto escalar com o gradiente:
D_{\!u}f(4,1)=\nabla f(4,1)\cdot u=2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}+16\cdot\frac{1}{2}=\sqrt{3}+8.

Passo 6

Equação do plano tangente: para z=f(x,y) a equação do plano tangente em (x_0,y_0,z_0) é dada pela aproximação linear
z=f(x_0,y_0)+f_x(x_0,y_0)\,(x-x_0)+f_y(x_0,y_0)\,(y-y_0).
Aqui (x_0,y_0,z_0)=(4,1,16) e f_x(4,1)=2, f_y(4,1)=16. Assim
z=16+2(x-4)+16(y-1).
Simplificando:
z=16+2x-8+16y-16=2x+16y-8.

Passo 7

Equação da reta normal: a reta normal à superfície z=f(x,y)\) no ponto \((x_0,y_0,z_0)\) tem direção dada pelo vetor normal ao plano tangente. Um vetor normal é \((f_x(x_0,y_0),f_y(x_0,y_0),-1)\). Aqui isso é \((2,16,-1)\). Logo uma forma paramétrica da reta normal passando por \((4,1,16)\) é \[\begin{cases} x=4+2t,\\[4pt] y=1+16t,\\[4pt] z=16-t, \end{cases} \qquad t\in\mathbb{R}.
Forma simétrica (quando convenientes): (\dfrac{x-4}{2}=\dfrac{y-1}{16}=\dfrac{z-16}{-1}].]

Resposta

a) \nabla f(4,1)=(2,16)
b) 2\sqrt{65}
c) 8+\sqrt{3}
d) z=2x+16y-8
e) x=4+2t,\;y=1+16t,\;z=16-t

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