(2,0) Utilizar os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e minimo da função sujeita à restrição:
f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}, \quad x+y+z=24 .

Passo 1

O enunciado dá uma função objetivo e uma restrição e pede os extremos sob essa restrição. Especificamente:
  • Função a otimizar: f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}.
  • Restrição: x+y+z=24.
    O que o problema pede:
  • Determinar os valores máximo e mínimo de f sujeitos à restrição x+y+z=24.
  • Se houver pontos onde esses extremos ocorrem, indicar esses pontos.

Passo 2

Explicando a ideia dos multiplicadores de Lagrange (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Para otimizar uma função f(x,y,z) sujeita a uma restrição g(x,y,z)=0, a condição necessária (quando a restrição é suave) é que o gradiente de f seja paralelo ao gradiente de g. Isso significa que existem escalares \lambda tais que
\nabla f(x,y,z)=\lambda\,\nabla g(x,y,z).
  • Intuição simples: o gradiente \nabla f aponta na direção de crescimento máximo de f. No ponto de extremo sobre a curva/plano da restrição, não se pode subir (ou descer) ao mover-se tangencialmente à restrição; logo a componente tangencial do gradiente de f deve ser nula, o que implica que \nabla f é perpendicular à superfície da restrição — i.e., paralelo a \nabla g.
  • Para aplicar: definimos g(x,y,z)=x+y+z-24. O sistema de Lagrange será:
\nabla f(x,y,z)=\lambda\,\nabla g(x,y,z),\qquad g(x,y,z)=0.
Vou escrever as componentes explícitas e resolver passo a passo.

Passo 3

Calcular os gradientes:
  • Gradiente de f:
\nabla f(x,y,z)=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)=(2x,\,2y,\,2z).
  • Gradiente de g:
\nabla g(x,y,z)=\left(\frac{\partial g}{\partial x},\frac{\partial g}{\partial y},\frac{\partial g}{\partial z}\right)=(1,\,1,\,1).
Agora impomos a condição de Lagrange \nabla f=\lambda\nabla g, o que dá o sistema de equações:
2x=\lambda,\qquad 2y=\lambda,\qquad 2z=\lambda,
além da restrição
x+y+z=24.

Passo 4

Resolver o sistema obtido:
  • Das três primeiras equações temos 2x=2y=2z=\lambda. Portanto
x=y=z.
  • Substituindo na restrição x+y+z=24 obtemos 3x=24, logo
x=8.
Assim
x=y=z=8.
  • Podemos recuperar \lambda se quisermos: de 2x=\lambda vem \lambda=2\cdot 8=16. Mas o essencial é o ponto crítico (8,8,8).

Passo 5

Determinar se o ponto crítico é mínimo ou máximo (explicação didática).
  • Observação geométrica: a restrição x+y+z=24 é um plano no \mathbb{R}^{3}. Esse plano é ilimitado (não é fechado nem limitado), portanto é possível tornar uma das coordenadas arbitrariamente grande compensando pelas outras, mantendo a soma igual a 24. Como f(x,y,z)=x^{2}+y^{2}+z^{2} cresce sem limite quando alguma coordenada cresce em módulo, existe possibilidade de f crescer arbitrariamente ao longo da restrição — isso indica que não haverá máximo global (a função é não limitada superiormente sobre o plano).
  • Para verificar mínimo: uso uma desigualdade clássica (Cauchy-Schwarz ou a forma quadrática). Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz (ou pela identidade (x+y+z)^{2}\le 3(x^{2}+y^{2}+z^{2})) temos
(x+y+z)^{2}\le 3\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr).
  • Substituindo x+y+z=24 obtemos
24^{2}\le 3\bigl(x^{2}+y^{2}+z^{2}\bigr)\quad\Rightarrow\quad x^{2}+y^{2}+z^{2}\ge \frac{24^{2}}{3}=\frac{576}{3}=192.
  • A igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz ocorre exatamente quando x=y=z. Portanto o menor valor possível de f sob a restrição é 192, obtido quando x=y=z=8.
  • Conclusão: o ponto crítico (8,8,8) é um mínimo global sujeito à restrição. Não existe máximo global porque a restrição é um plano ilimitado e pode-se aumentar arbitrariamente f.

Passo 6

Resumo do raciocínio e um exemplo curto que ajuda a fixar a ideia.
  • Resumo: pelo método dos multiplicadores de Lagrange encontramos o único ponto crítico (8,8,8). A desigualdade de Cauchy-Schwarz garante que esse ponto fornece o menor valor de f sujeito à restrição e mostra que f é limitado inferiormente por 192. Como o conjunto de restrição é ilimitado, f não tem máximo.
  • Exemplo simples para lembrar na prova: minimizar x^{2}+y^{2} com x+y=c. Pelo mesmo raciocínio obtemos x=y=c/2 e mínimo =\dfrac{c^{2}}{2}. Isso é análogo ao caso tridimensional aqui.

Resposta

f_{\min}=192 em (x,y,z)=(8,8,8).
Não existe máximo (a função é ilimitada superiormente sob a restrição x+y+z=24).

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