Utilizar os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e minimo da função sujeita à restrição:
Passo 1
O enunciado dá uma função objetivo e uma restrição e pede os extremos sob essa restrição. Especificamente:
- Função a otimizar:
. - Restrição:
.
O que o problema pede: - Determinar os valores máximo e mínimo de
sujeitos à restrição . - Se houver pontos onde esses extremos ocorrem, indicar esses pontos.
Passo 2
Explicando a ideia dos multiplicadores de Lagrange (passo-a-passo, sem pular etapas).
- Para otimizar uma função
sujeita a uma restrição , a condição necessária (quando a restrição é suave) é que o gradiente de seja paralelo ao gradiente de . Isso significa que existem escalares tais que
- Intuição simples: o gradiente
aponta na direção de crescimento máximo de . No ponto de extremo sobre a curva/plano da restrição, não se pode subir (ou descer) ao mover-se tangencialmente à restrição; logo a componente tangencial do gradiente de deve ser nula, o que implica que é perpendicular à superfície da restrição — i.e., paralelo a . - Para aplicar: definimos
. O sistema de Lagrange será:
Vou escrever as componentes explícitas e resolver passo a passo.
Passo 3
Calcular os gradientes:
- Gradiente de
:
- Gradiente de
:
Agora impomos a condição de Lagrange
, o que dá o sistema de equações:
além da restrição
Passo 4
Resolver o sistema obtido:
- Das três primeiras equações temos
. Portanto
- Substituindo na restrição
obtemos , logo
Assim
- Podemos recuperar
se quisermos: de vem . Mas o essencial é o ponto crítico .
Passo 5
Determinar se o ponto crítico é mínimo ou máximo (explicação didática).
- Observação geométrica: a restrição
é um plano no . Esse plano é ilimitado (não é fechado nem limitado), portanto é possível tornar uma das coordenadas arbitrariamente grande compensando pelas outras, mantendo a soma igual a . Como cresce sem limite quando alguma coordenada cresce em módulo, existe possibilidade de crescer arbitrariamente ao longo da restrição — isso indica que não haverá máximo global (a função é não limitada superiormente sobre o plano). - Para verificar mínimo: uso uma desigualdade clássica (Cauchy-Schwarz ou a forma quadrática). Pela desigualdade de Cauchy-Schwarz (ou pela identidade
) temos
- Substituindo
obtemos
- A igualdade na desigualdade de Cauchy-Schwarz ocorre exatamente quando
. Portanto o menor valor possível de sob a restrição é , obtido quando . - Conclusão: o ponto crítico
é um mínimo global sujeito à restrição. Não existe máximo global porque a restrição é um plano ilimitado e pode-se aumentar arbitrariamente .
Passo 6
Resumo do raciocínio e um exemplo curto que ajuda a fixar a ideia.
- Resumo: pelo método dos multiplicadores de Lagrange encontramos o único ponto crítico
. A desigualdade de Cauchy-Schwarz garante que esse ponto fornece o menor valor de sujeito à restrição e mostra que é limitado inferiormente por . Como o conjunto de restrição é ilimitado, não tem máximo. - Exemplo simples para lembrar na prova: minimizar
com . Pelo mesmo raciocínio obtemos e mínimo . Isso é análogo ao caso tridimensional aqui.
Resposta
Não existe máximo (a função é ilimitada superiormente sob a restrição