Fazer um resumo descritivo com um exemplo para cada tópico: (MANUSCRITO)
I) Aplicações de Integrais múltiplas: Momentos e centros de massa
II) Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas

Passo 1

No tópico I, aplicações de integrais múltiplas em momentos e centros de massa: a ideia é usar integrais duplas (ou triplas) para calcular o momento da massa de um corpo em relação a um eixo e, daí, encontrar suas coordenadas de centro de massa. Para uma lâmina uniforme de densidade constante  (que podemos tomar igual a 1) sobre a região retangular  :
D=(x,y):0<= x<= a,;0<= y<= b
calculamos a massa total
M=integral duplaD 1,dA = ab
o momento em relação ao eixo y
My=integral duplaD x,dA=integral0^bintegral0^a x,dx,dy=a^2b2
o momento em relação ao eixo x
Mx=integral duplaD y,dA=integral0^aintegral0^b y,dy,dx=ab^22
e, finalmente, as coordenadas do centro de massa
bar x=MyM=a2, bar y=MxM=b2

Passo 2

No tópico II, mudança de variáveis em integrais múltiplas: usamos uma transformação :
(u,v)mapsto(x(u,v),y(u,v))
com determinante jacobiano
J(u,v)=|partial(x,y)partial(u,v)|
para transformar integrandos e regiões complicadas em coordenadas mais simples. Exemplo clássico: calcular
I=integral duplax^2+y^2<= R^2(x^2+y^2),dA
utilizando coordenadas polares
x=rcostheta, y=rsintheta, dA=r,dr,dtheta
Então
$$I=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{R}(r^2)\cdot r,dr,d\theta=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{R}r^3,dr,d\theta
=2\pi\cdot\frac{R^4}{4}=\frac{\pi R^4}{2}.$$

Resposta

Resumo descritivo com exemplos para os tópicos I e II apresentados acima.

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