Fazer um resumo descritivo com um exemplo para cada tópico: (MANUSCRITO)
I) Aplicações de Integrais múltiplas: Momentos e centros de massa
II) Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas
I) Aplicações de Integrais múltiplas: Momentos e centros de massa
II) Mudança de Variáveis em Integrais Múltiplas
Passo 1
No tópico I, aplicações de integrais múltiplas em momentos e centros de massa: a ideia é usar integrais duplas (ou triplas) para calcular o momento da massa de um corpo em relação a um eixo e, daí, encontrar suas coordenadas de centro de massa. Para uma lâmina uniforme de densidade constante (que podemos tomar igual a 1) sobre a região retangular :
calculamos a massa total
o momento em relação ao eixo y
o momento em relação ao eixo x
e, finalmente, as coordenadas do centro de massa
Passo 2
No tópico II, mudança de variáveis em integrais múltiplas: usamos uma transformação :
com determinante jacobiano
para transformar integrandos e regiões complicadas em coordenadas mais simples. Exemplo clássico: calcular
utilizando coordenadas polares
Então
$$I=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{R}(r^2)\cdot r,dr,d\theta=\int_{0}{2\pi}\int_{0}{R}r^3,dr,d\theta
=2\pi\cdot\frac{R^4}{4}=\frac{\pi R^4}{2}.$$
Resposta
Resumo descritivo com exemplos para os tópicos I e II apresentados acima.