Um FBR foi utilizado para a realização da seguinte reação: A+B \rightarrow C+D, sendo sua lei de velocidade dada por:
-r_{A}^{\'}=\frac{0,00087 P_{A} P_{B}}{1+1,39 P_{C}+1,038 P_{A}}\left(\frac{\mathrm{~mol}}{\mathrm{~kg}_{\text {cat }} \cdot \mathrm{min}}\right)
Considerando os dados apresentados abaixo, qual a conversão alcançada se fossem utilizadas 38,39 toneladas de catalisador?
Dados: \mathrm{F}_{\mathrm{A} 0}=50 \mathrm{mols} / \mathrm{min} ; \mathrm{P}_{0}=40 \mathrm{~atm} ; \mathrm{T}=640^{\circ} \mathrm{C} ; \mathrm{y}_{\mathrm{A} 0}=0,3 ; \mathrm{y}_{\mathrm{B} 0}=0,45 ; \mathrm{y}_{\mathrm{I} 0}=0,25.

Passo 1

O enunciado trata de um reator de leito fixo (FBR) para a reação
A + B \longrightarrow C + D
com lei de velocidade expressa em termos de pressões parciais:
-r'_A \;=\; \frac{0,00087\,P_A\,P_B}{1 + 1,39\,P_C + 1,038\,P_A} \quad\bigl[\tfrac{\mathrm{mol}}{\mathrm{kg_{cat}}\cdot\min}\bigr].
Os dados são
F_{A0} = 50\;\tfrac{\mathrm{mol}}{\min},\quad P = 40\;\mathrm{atm},\quad T = 640\;^\circ\mathrm{C},
y_{A0}=0,3,\quad y_{B0}=0,45,\quad y_{I0}=0,25,\quad W = 38{,}39\;\mathrm{t\;de\;cat} = 38\,390\;\mathrm{kg_{cat}}.
Vamos calcular a conversão X obtida.

Passo 2

Definimos a conversão de A como
X = \frac{F_{A0} - F_A}{F_{A0}},
e pelas estequiometrias:
F_A = 50\,(1 - X),\quad F_B = 75 - 50\,X,\quad F_C = 50\,X,\quad F_D = 50\,X,\quad F_I = 41{,}667\quad(\text{inertes constantes}).
O fluxo total é
F_{\text{tot}} =50(1-X)+(75-50X)+50X+50X+41{,}667 =166{,}667\;\tfrac{\mathrm{mol}}{\min}\quad(\text{constante}).
As frações molares variam assim:
y_A = \frac{50(1-X)}{166{,}667}=0,3(1-X),\quad y_B = 0,45-0,3X,\quad y_C=0,3X,\quad y_I=0,25.

Passo 3

As pressões parciais são P_j = y_j\,P. Substituindo em
r'_A = \frac{0,00087\,P_A\,P_B}{1 + 1,39\,P_C + 1,038\,P_A}
vem
r'_A = \frac{0,00087\,P^2\,y_A\,y_B} {1 + 1,39\,P\,y_C + 1,038\,P\,y_A}.
Para o balanço em leito fixo usamos
dW = \frac{F_{A0}\,dX}{r'_A},
logo
W = F_{A0}\,\int_{0}^{X} \frac{dX}{r'_A} = \frac{50}{0,00087\cdot 40^2}\; \int_{0}^{X} \frac{1 + 1,39\cdot40\,y_C + 1,038\cdot40\,y_A} {y_A\,y_B} \;dX.

Passo 4

Calculamos constantes e simplificamos:
0,00087\cdot40^2 = 1,392, \qquad \frac{50}{1,392}=35,919.
No integrando, com y_A=0,3(1-X), y_B=0,45-0,3X, y_C=0,3X, obtemos
\frac{1 + 1,39\cdot40\,y_C + 1,038\cdot40\,y_A} {y_A\,y_B} = \frac{13,456 + 4,224\,X} {0,135 -0,225\,X +0,09\,X^2}.
Assim
W = 35,919 \int_{0}^{X} \frac{13,456 + 4,224\,X}{0,135 -0,225\,X +0,09\,X^2} \;dX = 38\,390\;\mathrm{kg}.
Isolamos o integral numérico:
\int_{0}^{X} \frac{13,456 + 4,224\,X}{0,135 -0,225\,X +0,09\,X^2} \,dX = \frac{38\,390}{35,919} \approx 1\,069,2.

Passo 5

Para avaliar
\displaystyle I(X)=\int_{0}^{X}f(X)\,dX
com f(X)=\tfrac{13,456+4,224X}{0,135-0,225X+0,09X^2}, dividimos em duas partes:
  1. I_1=\int_{0}^{0,9}f(X)\,dX\approx 562{,}9 (regra trapezoidal refinada).
  2. I_2=\int_{0,9}^{X}f(X)\,dX.
    Próximo de X=1, f(X)\approx \tfrac{17,68}{0,045(1-X)} = \tfrac{393,99}{1-X},
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I_2 \approx 393,99\int_{0,9}^{X}\frac{dX}{1-X} =393,99\,\ln\!\Bigl(\frac{0,1}{1-X}\Bigr).
Queremos I_1+I_2=1\,069,2, isto é
393,99\,\ln\!\Bigl(\frac{0,1}{1-X}\Bigr) \approx 1\,069,2 - 562,9 = 506,3.
Daí
\ln\!\Bigl(\frac{0,1}{1-X}\Bigr) \approx \frac{506,3}{393,99}=1,2857 \quad\Longrightarrow\quad \frac{0,1}{1-X}=e^{1,2857}=3,6175
1 - X = \frac{0,1}{3,6175}=0,02765 \quad\Longrightarrow\quad X \approx 0,97235.

Resposta

A conversão alcançada é aproximadamente 97{,}2\%.

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