(FEI-SP) O domínio da função f(x)=\frac{3 x+1}{\sqrt{x^{2}-5 x+4}} é dado por:
a) D(f)=\{x \in \mathbb{R} \mid x \leqslant 1 ou x \geqslant 4\}
b) D(f)=\{x \in \mathbb{R} \mid 1<x<4\}
c) D(f)=\{x \in \mathbb{R} \mid x<1 ou x>4\}
d) D(f)=\{x \in \mathbb{R} \mid 1 \leqslant x \leqslant 4\}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=\dfrac{3x+1}{\sqrt{x^{2}-5x+4}} e pede o domínio D(f).
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A expressão no numerador é 3x+1 (isso não impõe restrição nenhuma ao domínio porque é definida para todo x\in\mathbb{R}).
  • A expressão no denominador é \sqrt{x^{2}-5x+4}.
    O enunciado pergunta qual é o conjunto de todos os x\in\mathbb{R} para os quais f(x) está bem definida (domínio).

Passo 2

Relembrando a regra importante aqui: a raiz quadrada \sqrt{\,\cdot\,} só é real quando o radicando é maior ou igual a zero, ou seja, para \,x^{2}-5x+4\ge 0. Porém, como essa raiz aparece no denominador, não é permitido que ela seja zero (divisão por zero é indefinida). Portanto precisamos da condição estrita
x^{2}-5x+4>0.
Essa é a inequação que determina o domínio.

Passo 3

Vamos analisar a inequação resolvendo primeiro a equação associada para encontrar os pontos críticos:
x^{2}-5x+4=0.
Fatorando o polinômio (ou pesquisando raízes):
x^{2}-5x+4=(x-1)(x-4).
Portanto as raízes são x=1 e x=4.

Passo 4

Usamos as raízes para dividir a reta em intervalos e testar o sinal de (x-1)(x-4). Os intervalos são (-\infty,1), (1,4) e (4,\infty).
  • Para x=0 (no intervalo (-\infty,1)): (0-1)(0-4)=(-1)(-4)=4>0. Então a expressão é positiva neste intervalo.
  • Para x=2 (no intervalo (1,4)): (2-1)(2-4)=(1)(-2)=-2<0. Então a expressão é negativa neste intervalo.
  • Para x=5 (no intervalo (4,\infty)): (5-1)(5-4)=(4)(1)=4>0. Então a expressão é positiva neste intervalo.
Como queremos x^{2}-5x+4>0, as soluções são os intervalos onde o produto é positivo, isto é
x<1\quad\text{ou}\quad x>4.
Observação: x=1 e x=4 não fazem parte do domínio porque aí o radicando é zero e o denominador seria \sqrt{0}=0, o que não é permitido.

Passo 5

Concluímos que o domínio é
D(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x<1\\ \text{ou}\\ x>4\}.
Isso corresponde à alternativa c).

Resposta

c) D(f)=\{x\in\mathbb{R}\mid x<1\\ \text{ou}\\ x>4\}

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