(FEI-SP) Em uma gaveta há 12 lâmpadas, das quais 4 estão queimadas. Se três lâmpadas são escolhidas ao acaso e sem reposição, qual a probabilidade de apenas uma das escolhidas estar queimada?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma gaveta com 12 lâmpadas, sendo que 4 estão queimadas. A gente vai escolher 3 lâmpadas de forma aleatória e sem colocar de volta. A tarefa é descobrir a probabilidade de que exatamente uma dessas 3 lâmpadas esteja queimada.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de probabilidade combinatória, especificamente combinação simples e a regra de probabilidade para eventos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quantas maneiras temos de escolher 3 lâmpadas dentre as 12. Isso é calculado pela combinação de 12 elementos tomados 3 a 3, que é denotada por Cn^k = n!k!(n-k)! .
A fórmula da combinação é:
C12^3 = 12!3!(12-3)! = 12 times 11 times 103 times 2 times 1 = 220
Então, calculando :
Temos 220 maneiras diferentes de escolher 3 lâmpadas dessas 12.

Passo 3

Agora, queremos que exatamente uma das 3 lâmpadas escolhidas esteja queimada. Para isso, precisamos selecionar 1 lâmpada que está queimada e 2 que não estão queimadas.
Primeiro, quantas maneiras temos de escolher 1 lâmpada queimada dentre as 4?
C4^1 = 4
Depois, quantas maneiras de escolher 2 lâmpadas que não estão queimadas dentre as 8 restantes (já que 12 - 4 = 8)?
C8^2 = 8!2!(8-2)! = 8 times 72 times 1 = 28

Passo 4

Para encontrar o número total de combinações que atendem ao nosso critério (1 queimada e 2 não queimadas), multiplicamos as duas combinações:
C4^1 times C8^2 = 4 times 28 = 112
Então, existem 112 maneiras de escolher 3 lâmpadas onde exatamente uma está queimada.

Passo 5

Agora, para encontrar a probabilidade desejada, dividimos o número de combinações favoráveis pelo número total de combinações possíveis:
P = C4^1 times C8^2C12^3 = 112220 = 2855 approx 0,5091

Resposta

A probabilidade de que apenas uma das três lâmpadas escolhidas esteja queimada é ou aproximadamente 50,91%.

Exercícios relacionados