As placas atuais de veículos são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Considerando que o alfabeto possui 26 letras, quantas placas diferentes podem ser fabricadas de modo que:
Só apareça algarismos pares distintos e as letras sejam vogais?

Passo 1

O enunciado pede: contar quantas placas diferentes podem ser fabricadas com o formato “três letras seguidas de quatro algarismos”, sob as condições:
  • As três letras devem ser vogais.
  • Os quatro algarismos devem ser apenas algarismos pares e todos distintos.
Informações fornecidas e decisões tomadas a partir do enunciado:
  • O alfabeto tem 26 letras, mas só são permitidas as vogais. Vou considerar as vogais usuais \{A,E,I,O,U\}, totalizando 5 vogais.
  • Algarismos pares possíveis são \{0,2,4,6,8\}, totalizando 5 algarismos pares.
  • Os algarismos devem ser distintos (ou seja, sem repetição) e a ordem importa (porque a placa tem uma sequência de 4 posições).
  • Para as letras não foi exigida distinção, então permitimos repetições entre as vogais (por exemplo, AAA é válido).
A pergunta final é: qual o número total de placas distintas que satisfazem essas condições?

Passo 2

Como contar as escolhas das letras?
Princípio que usaremos: regra do produto (contagem por multiplicação). Se algo é formado por decisões independentes (escolher letra 1, depois letra 2, depois letra 3), o número total de combinações é o produto do número de escolhas em cada decisão.
Aqui, cada uma das 3 posições de letra pode receber qualquer uma das 5 vogais, e as escolhas são independentes (repetição permitida). Portanto o número de formas de escolher as letras é
5\cdot 5\cdot 5 = 5^{3}.
Calculemos:
5^{3} = 125.
Então existem 125 possíveis sequências de 3 letras vogais.

Passo 3

Agora contamos as escolhas dos quatro algarismos pares distintos.
Estratégia: pensar posição por posição, lembrando que não podemos repetir dígitos.
  • Para a primeira posição de algarismo há \,5 opções ( 0,2,4,6,8).
  • Depois de escolher a primeira, resta \,4 opções para a segunda (não podemos repetir).
  • Para a terceira resta \,3 opções.
  • Para a quarta resta \,2 opções.
Pelo princípio do produto, o número total de sequências de 4 algarismos pares distintos é
5\cdot 4\cdot 3\cdot 2.
Esse é um caso de permutação sem repetição: o número de arranjos ordenados de 4 elementos escolhidos de um conjunto de 5 é
P(5,4)=\frac{5!}{(5-4)!}=\frac{5!}{1!}=5\cdot4\cdot3\cdot2.
Calculemos essa multiplicação:
5\cdot4=20,\quad 20\cdot3=60,\quad 60\cdot2=120.
Portanto existem 120 possíveis sequências de 4 algarismos pares distintos.

Passo 4

Agora combinamos as escolhas de letras com as escolhas de algarismos. As partes “3 letras” e “4 algarismos” são decisões independentes (qualquer sequência de letras pode acompanhar qualquer sequência de dígitos), então aplicamos novamente a regra do produto:
\text{total} = (\text{formas de letras}) \cdot (\text{formas de algarismos}) = 125 \cdot 120.

Passo 5

Façamos a multiplicação de forma clara, passo a passo:
125\cdot 120 = 125\cdot (100+20) = 125\cdot100 + 125\cdot20.
125\cdot100 = 12\,500,\qquad 125\cdot20 = 2\,500.
12\,500 + 2\,500 = 15\,000.

Passo 6

Interpretação final e checagem rápida: fizemos 5^{3} formas para as letras (permite repetição) e P(5,4) formas ordenadas para os dígitos pares distintos. Multiplicando obtemos o total de placas que atendem às condições.

Resposta

15000

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