As placas atuais de veículos são formadas por três letras seguidas de quatro algarismos. Considerando que o alfabeto possui 26 letras, quantas placas diferentes podem ser fabricadas de modo que:
Só apareça algarismos pares distintos e as letras sejam vogais?
Só apareça algarismos pares distintos e as letras sejam vogais?
Passo 1
O enunciado pede: contar quantas placas diferentes podem ser fabricadas com o formato “três letras seguidas de quatro algarismos”, sob as condições:
- As três letras devem ser vogais.
- Os quatro algarismos devem ser apenas algarismos pares e todos distintos.
Informações fornecidas e decisões tomadas a partir do enunciado:
- O alfabeto tem
letras, mas só são permitidas as vogais. Vou considerar as vogais usuais , totalizando vogais. - Algarismos pares possíveis são
, totalizando algarismos pares. - Os algarismos devem ser distintos (ou seja, sem repetição) e a ordem importa (porque a placa tem uma sequência de 4 posições).
- Para as letras não foi exigida distinção, então permitimos repetições entre as vogais (por exemplo,
é válido).
A pergunta final é: qual o número total de placas distintas que satisfazem essas condições?
Passo 2
Como contar as escolhas das letras?
Princípio que usaremos: regra do produto (contagem por multiplicação). Se algo é formado por decisões independentes (escolher letra 1, depois letra 2, depois letra 3), o número total de combinações é o produto do número de escolhas em cada decisão.
Princípio que usaremos: regra do produto (contagem por multiplicação). Se algo é formado por decisões independentes (escolher letra 1, depois letra 2, depois letra 3), o número total de combinações é o produto do número de escolhas em cada decisão.
Aqui, cada uma das 3 posições de letra pode receber qualquer uma das
vogais, e as escolhas são independentes (repetição permitida). Portanto o número de formas de escolher as letras é
Calculemos:
Então existem
possíveis sequências de 3 letras vogais.
Passo 3
Agora contamos as escolhas dos quatro algarismos pares distintos.
Estratégia: pensar posição por posição, lembrando que não podemos repetir dígitos.
Estratégia: pensar posição por posição, lembrando que não podemos repetir dígitos.
- Para a primeira posição de algarismo há
opções ( ). - Depois de escolher a primeira, resta
opções para a segunda (não podemos repetir). - Para a terceira resta
opções. - Para a quarta resta
opções.
Pelo princípio do produto, o número total de sequências de 4 algarismos pares distintos é
Esse é um caso de permutação sem repetição: o número de arranjos ordenados de
elementos escolhidos de um conjunto de
é
Calculemos essa multiplicação:
Portanto existem
possíveis sequências de
algarismos pares distintos.
Passo 4
Agora combinamos as escolhas de letras com as escolhas de algarismos. As partes “3 letras” e “4 algarismos” são decisões independentes (qualquer sequência de letras pode acompanhar qualquer sequência de dígitos), então aplicamos novamente a regra do produto:
Passo 5
Façamos a multiplicação de forma clara, passo a passo:
Passo 6
Interpretação final e checagem rápida: fizemos
formas para as letras (permite repetição) e
formas ordenadas para os dígitos pares distintos. Multiplicando obtemos o total de placas que atendem às condições.