Um feixe de elétrons de 40 eV deslocando-se no sentido
passa através de uma fenda de largura igual a
paralela ao eixo
. A figura de difração é registrada em uma tela situada a uma distância de
da fenda. (a) Qual é o comprimento de onda de de Broglie dos elétrons? (b) Quanto tempo os elétrons levam para ir da fenda até a tela? © Use a largura do máximo central da difração para calcular a incerteza no componente
do momento linear de um elétron logo depois que ele passou através da fenda. (d) Use o resultado do item © e o princípio da incerteza de Heisenberg para estimar a incerteza mínima na coordenada
de um elétron logo depois que ele passou através da fenda. Compare seus resultados com a largura da fenda.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um feixe de elétrons com energia de 40 eV que passa por uma fenda com largura de
paralela ao eixo
. A difração desses elétrons é observada em uma tela a uma distância de 2,5 metros da fenda.
Aqui, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente:
- Comprimento de onda de de Broglie: que relaciona a natureza ondulatória das partículas.
- Tempo de voo: para calcular quanto tempo os elétrons levam para viajar da fenda até a tela.
- Princípio da incerteza de Heisenberg: para relacionar a incerteza nas medidas de posição e momento.
Vamos resolver cada parte passo a passo!
Passo 2
Parte (a): Qual é o comprimento de onda de de Broglie dos elétrons?
Primeiro, precisamos calcular o comprimento de onda de de Broglie (
) dos elétrons. A fórmula de de Broglie relaciona o comprimento de onda de uma partícula com seu momento linear (
):
Onde:
-
é a constante de Planck ( ). -
é o momento linear.
Mas como temos a energia dos elétrons (
), precisamos relacionar isso com o momento. Primeiro, convertamos a energia de elétrons de eV para Joules:
A energia cinética (
) dos elétrons é dada por:
Onde
é a massa do elétron (
). Vamos resolver para
:
Calculando:
Agora, usando a fórmula de de Broglie:
Passo 3
Parte (b): Quanto tempo os elétrons levam para ir da fenda até a tela?
Aqui, queremos calcular o tempo de voo (
) dos elétrons desde a fenda até a tela. Sabemos a distância (
) e precisamos encontrar a velocidade (
) dos elétrons.
A relação é simples:
Mas como não temos
diretamente, podemos relacionar com a energia cinética:
Já calculamos
e
:
Agora, calculando o tempo:
Passo 4
Parte ©: Use a largura do máximo central da difração para calcular a incerteza no componente
do momento linear de um elétron logo depois que ele passou através da fenda.
Quando os elétrons passam por uma fenda de largura
, ocorre um padrão de difração. A largura do máximo central ($ \Delta y $) na tela está relacionada à fração de difração e pode nos dar informações sobre a incerteza no momento.
A condição para o primeiro mínimo na difração de um feixe de partículas é:
Para pequenos ângulos (
),
, onde
é a distância à tela.
Então:
Mas aqui queremos a incerteza no momento $ \Delta p_y $. Usando a relação de de Broglie, sabemos que:
Onde
.
Calculando:
Passo 5
Parte (d): Use o resultado do item © e o princípio da incerteza de Heisenberg para estimar a incerteza mínima na coordenada
de um elétron logo depois que ele passou através da fenda. Compare seus resultados com a largura da fenda.
O Princípio da Incerteza de Heisenberg afirma que:
Onde $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $.
Queremos encontrar $ \Delta y $:
Calculando $ \hbar $:
Agora, usando $ \Delta p_y = 1,3252 \times 10^{-28} , \mathrm{kg \cdot m/s} $:
Comparando com a largura da fenda (
), vemos que a incerteza mínima na coordenada
(
) é menor que a largura da fenda, o que faz sentido, já que a fenda restringe a posição dos elétrons nessa direção.
Resposta
(a) O comprimento de onda de de Broglie dos elétrons é aproximadamente
.
(b) Os elétrons levam cerca de
para viajar da fenda até a tela.
© A incerteza no componente
do momento linear de um elétron é aproximadamente
.
(d) A incerteza mínima na coordenada
de um elétron é cerca de
, que é menor que a largura da fenda de
.