Um feixe de elétrons de 40 eV deslocando-se no sentido +x passa através de uma fenda de largura igual a 5,0 mu m paralela ao eixo y. A figura de difração é registrada em uma tela situada a uma distância de 2,5 m da fenda. (a) Qual é o comprimento de onda de de Broglie dos elétrons? (b) Quanto tempo os elétrons levam para ir da fenda até a tela? © Use a largura do máximo central da difração para calcular a incerteza no componente y do momento linear de um elétron logo depois que ele passou através da fenda. (d) Use o resultado do item © e o princípio da incerteza de Heisenberg para estimar a incerteza mínima na coordenada y de um elétron logo depois que ele passou através da fenda. Compare seus resultados com a largura da fenda.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um feixe de elétrons com energia de 40 eV que passa por uma fenda com largura de 5,0 , mum paralela ao eixo y. A difração desses elétrons é observada em uma tela a uma distância de 2,5 metros da fenda.
Aqui, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente:
  1. Comprimento de onda de de Broglie: que relaciona a natureza ondulatória das partículas.
  2. Tempo de voo: para calcular quanto tempo os elétrons levam para viajar da fenda até a tela.
  3. Princípio da incerteza de Heisenberg: para relacionar a incerteza nas medidas de posição e momento.
Vamos resolver cada parte passo a passo!

Passo 2

Parte (a): Qual é o comprimento de onda de de Broglie dos elétrons?
Primeiro, precisamos calcular o comprimento de onda de de Broglie ( lambda) dos elétrons. A fórmula de de Broglie relaciona o comprimento de onda de uma partícula com seu momento linear ( p):
lambda = hp
Onde:
  • h é a constante de Planck ( 6,626 times 10^-34 , J cdot s).
  • p é o momento linear.
Mas como temos a energia dos elétrons ( E = 40 , eV), precisamos relacionar isso com o momento. Primeiro, convertamos a energia de elétrons de eV para Joules:
1 , eV = 1,602 times 10^-19 , J
E = 40 , eV = 40 times 1,602 times 10^-19 , J = 6,408 times 10^-18 , J
A energia cinética ( E) dos elétrons é dada por:
E = p^22m
Onde m é a massa do elétron ( 9,109 times 10^-31 , kg). Vamos resolver para p:
p = raiz2mE = raiz2 times 9,109 times 10^-31 , kg times 6,408 times 10^-18 , J
Calculando:
p approx raiz2 times 9,109 times 10^-31 times 6,408 times 10^-18 approx raiz1,164 times 10^-47 approx 1,078 times 10^-23 , kg cdot m/s
Agora, usando a fórmula de de Broglie:
lambda = 6,626 times 10^-34 , J cdot s1,078 times 10^-23 , kg cdot m/s approx 6,14 times 10^-11 , m = 0,0614 , nm

Passo 3

Parte (b): Quanto tempo os elétrons levam para ir da fenda até a tela?
Aqui, queremos calcular o tempo de voo ( t) dos elétrons desde a fenda até a tela. Sabemos a distância ( d = 2,5 , m) e precisamos encontrar a velocidade ( v) dos elétrons.
A relação é simples:
t = dv
Mas como não temos v diretamente, podemos relacionar com a energia cinética:
E = 12 m v^2 Rightarrow v = raiz2Em
Já calculamos E = 6,408 times 10^-18 , J e m = 9,109 times 10^-31 , kg:
v = raiz2 times 6,408 times 10^-189,109 times 10^-31 approx raiz1,2816 times 10^-179,109 times 10^-31 approx raiz1,406 times 10^13 approx 3,75 times 10^6 , m/s
Agora, calculando o tempo:
t = 2,5 , m3,75 times 10^6 , m/s approx 6,67 times 10^-7 , s = 667 , ns

Passo 4

Parte ©: Use a largura do máximo central da difração para calcular a incerteza no componente y do momento linear de um elétron logo depois que ele passou através da fenda.
Quando os elétrons passam por uma fenda de largura a, ocorre um padrão de difração. A largura do máximo central ($ \Delta y $) na tela está relacionada à fração de difração e pode nos dar informações sobre a incerteza no momento.
A condição para o primeiro mínimo na difração de um feixe de partículas é:
De
Para pequenos ângulos ( a sin theta = lambda ), theta, onde sin theta approx tan theta = De é a distância à tela.
Então:
L
Mas aqui queremos a incerteza no momento $ \Delta p_y $. Usando a relação de de Broglie, sabemos que:
a De
Onde De.
Calculando:
De

Passo 5

Parte (d): Use o resultado do item © e o princípio da incerteza de Heisenberg para estimar a incerteza mínima na coordenada y de um elétron logo depois que ele passou através da fenda. Compare seus resultados com a largura da fenda.
O Princípio da Incerteza de Heisenberg afirma que:
Onde $ \hbar = \frac{h}{2\pi} $.
Queremos encontrar $ \Delta y $:
hbar = h2pi
Calculando $ \hbar $:
De
Agora, usando $ \Delta p_y = 1,3252 \times 10^{-28} , \mathrm{kg \cdot m/s} $:
Comparando com a largura da fenda ( hbar ), vemos que a incerteza mínima na coordenada hbar = 6,626 times 10^-342pi approx 1,054 times 10^-34 , J cdot s ( De) é menor que a largura da fenda, o que faz sentido, já que a fenda restringe a posição dos elétrons nessa direção.

Resposta

(a) O comprimento de onda de de Broglie dos elétrons é aproximadamente 6,14 times 10^-11 , m.
(b) Os elétrons levam cerca de 667 , ns para viajar da fenda até a tela.
© A incerteza no componente y do momento linear de um elétron é aproximadamente 1,33 times 10^-28 , kg cdot m/s.
(d) A incerteza mínima na coordenada y de um elétron é cerca de 398 , nm, que é menor que a largura da fenda de 5,0 , mum.

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