Uma fita de alumínio ( alpha al =24 times 10^-6 ^circ C^-1 ) é 3,6 cm menor que uma fita de latão ( alpha latão =19 times 10^-6 ^circ C^-1ã ) de 24,5 m quando ambas estão à temperatura de 24^circ C. Em qual temperatura em Celsius o comprimento das fitas será igual?
Resposta:

Passo 1

Vamos entender o problema. Temos duas fitas de materiais diferentes: alumínio e latão. A fita de alumínio é 3,6 cm mais curta que a de latão quando ambas estão a 24°C. Queremos descobrir a que temperatura essas duas fitas terão o mesmo comprimento. Para resolver isso, vamos usar o conceito de dilatação térmica linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da dilatação linear:
De
Onde:
  • De é a variação do comprimento,
  • L0 é o comprimento inicial,
  • alpha é o coeficiente de dilatação linear,
  • De é a variação de temperatura.

Passo 3

Vamos identificar as informações dadas:
  • Comprimento inicial da fita de latão ( Llatão^0ã) = 24,5 m
  • Comprimento inicial da fita de alumínio ( Lal^0) = 24,5 m - 0,036 m = 24,464 m (pois 3,6 cm = 0,036 m)
  • Coeficientes de dilatação:
    • Alumínio: alphaal = 24 times 10^-6 ,^circ C^-1
    • Latão: alphalatão = 19 times 10^-6 ,^circ C^-1ã
  • Temperatura inicial = 24°C

Passo 4

Queremos encontrar a temperatura T onde os comprimentos das fitas serão iguais. Assim, temos:
Llatão^0 + Deãã
Substituindo a fórmula da dilatação:
Llatão^0 + Llatão^0 cdot alphalatão cdot (T - 24) = Lal^0 + Lal^0 cdot alphaal cdot (T - 24) ããã

Passo 5

Vamos isolar T. Primeiro, fatoramos T - 24:
Llatão^0 (1 + alphalatão (T - 24)) = Lal^0 (1 + alphaal (T - 24)) ãã
Expandindo:
Llatão^0 + Llatão^0 cdot alphalatão (T - 24) = Lal^0 + Lal^0 cdot alphaal (T - 24) ããã
Reorganizando:
Llatão^0 cdot alphalatão (T - 24) - Lal^0 cdot alphaal (T - 24) = Lal^0 - Llatão^0 ããã
Fatorando T - 24:
(T - 24) (Llatão^0 alphalatão - Lal^0 alphaal) = Lal^0 - Llatão^0 ããã

Passo 6

Isolando T:
T - 24 = Lal^0 - Llatão^0Llatão^0 alphalatão - Lal^0 alphaal ããã
Portanto:
T = 24 + Lal^0 - Llatão^0Llatão^0 alphalatão - Lal^0 alphaal ããã

Passo 7

Substituindo os valores:
Lal^0 = 24,464 , m Llatão^0 = 24,5 , m alphalatão = 19 times 10^-6 ,^circ C^-1 alphaal = 24 times 10^-6 ,^circ C^-1 ãã
Calculando o numerador:
Lal^0 - Llatão^0 = 24,464 - 24,5 = -0,036 , m ã
Calculando o denominador:
Llatão^0 alphalatão - Lal^0 alphaal = 24,5 times 19 times 10^-6 - 24,464 times 24 times 10^-6 ãã
= 0,0004655 - 0,000587136 = -0,000121636
Portanto:
T = 24 + -0,036-0,000121636 approx 24 + 295,7 approx 319,7 ,^circ C

Resposta

A temperatura em que os comprimentos das fitas serão iguais é aproximadamente 320 ,^circ C.

Exercícios relacionados