4- Um Feixe laser com potência de 500 mW tem um diâmetro de 0,5 \mathrm{~cm}. Esse feixe é direcionado para uma esfera cromada de 0,1 \mathrm{~mm} de diâmetro. a) Calcule a força exercida sobre a esfera ( 100 \% refletora) devido ao laser. b) Adicionando uma lente ao experimento o laser é focalizado em uma área exatamente igual à área da secção transversal da esfera. Por quanto aumenta a força que a esfera sofre? c) Se esse objeto tem 1 \mu \mathrm{~g} de massa, que a potência do laser para igualar a força peso?
a) 1,333 \cdot 10^{-12} \mathrm{~N}
b) 2500
c) 1,47 \mathrm{~W}

Passo 1

O enunciado dá um feixe laser e uma esfera e pede três coisas. Informação fornecida (vou listar tudo explicitamente):
  • potência do laser: P=0,5\\ \mathrm{W} (isto é 500\\ \mathrm{mW});
  • diâmetro do feixe: D_{\text{feixe}}=0,5\\ \mathrm{cm};
  • diâmetro da esfera: D_{\text{esfera}}=0,1\\ \mathrm{mm};
  • a esfera é 100\% refletora (reflexão perfeita);
  • na parte (b) o feixe é focalizado em uma área exatamente igual à área da secção transversal da esfera;
  • na parte (c) a massa do objeto é m=1\\ \mu\mathrm{g}.
O que se pede:
a) calcular a força exercida sobre a esfera pelo laser nas condições iniciais;
b) ao focar o feixe na área da secção da esfera, por quanto a força aumenta (fator multiplicativo);
c) se m=1\\ \mu\mathrm{g}, qual potência do laser necessária para que a força do laser iguale o peso do objeto.

Passo 2

Converto todas as unidades para o SI (m, kg, s) para fazer as contas sem erro:
  • potência: \,P=0,5\\ \mathrm{W} (já em SI).
  • diâmetro do feixe: \,D_{\text{feixe}}=0,5\\ \mathrm{cm}=0,005\\ \mathrm{m}.
  • raio do feixe: \,r_{\text{feixe}}=\dfrac{D_{\text{feixe}}}{2}=0,0025\\ \mathrm{m}.
  • diâmetro da esfera: \,D_{\text{esfera}}=0,1\\ \mathrm{mm}=1\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{m}.
  • raio da esfera (secção): \,r_{\text{esfera}}=\dfrac{D_{\text{esfera}}}{2}=5\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m}.
  • velocidade da luz (aproximação usada): \,c=3,00\cdot 10^{8}\\ \mathrm{m/s}.
  • massa do objeto (parte c): \,m=1\\ \mu\mathrm{g}=1\cdot 10^{-9}\\ \mathrm{kg}.

Passo 3

Calculo as áreas relevantes (todas fórmulas de área de círculo):
  • área do feixe:
A_{\text{feixe}}=\pi r_{\text{feixe}}^{2}=\pi(0,0025)^{2}.
Faço a conta:
A_{\text{feixe}}=\pi\cdot 6{,}25\cdot 10^{-6}=1{,}963495\cdot 10^{-5}\\ \mathrm{m^{2}}.
  • área da secção transversal da esfera:
A_{\text{esfera}}=\pi r_{\text{esfera}}^{2}=\pi(5\cdot 10^{-5})^{2}.
Faço a conta:
A_{\text{esfera}}=\pi\cdot 2{,}5\cdot 10^{-9}=7{,}853982\cdot 10^{-9}\\ \mathrm{m^{2}}.

Passo 4

Explico o conceito físico necessário (radiação exercendo força):
  • A intensidade (fluxo de potência por unidade de área) do feixe é
I=\frac{P}{A_{\text{feixe}}}.
Intensidade representa quantos watts passam por cada metro quadrado.
  • Para uma superfície perfeitamente absorvente, a pressão de radiação (força por área) é \dfrac{I}{c}. Para uma superfície perfeitamente refletora (incidência normal, reflexão reversa do sentido), a variação de momento é o dobro, logo a pressão é
p_{\text{rad}}=\frac{2I}{c}.
Justificativa curta e intuitiva: fótons carregam momento p_{\text{fóton}}=E/có; quando são refletidos, seu momento muda de sentido, duplicando a transferência de momento por fóton em comparação à absorção. Assim reflexores perfeitos geram o dobro da pressão.

Passo 5

Calculo a intensidade do feixe antes do foco:
I=\frac{P}{A_{\text{feixe}}}=\frac{0,5}{1{,}963495\cdot 10^{-5}}.
Faço a divisão:
I\approx 2{,}54648\cdot 10^{4}\\ \mathrm{W/m^{2}}.

Passo 6

Calculo a pressão de radiação sobre a área interceptada pela esfera (incidência normal):
p_{\text{rad}}=\frac{2I}{c}=\frac{2\cdot 2{,}54648\cdot 10^{4}}{3{,}00\cdot 10^{8}}.
Faço a conta:
p_{\text{rad}}\approx 1{,}69765\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{Pa}.

Passo 7

A força sobre a esfera é a pressão multiplicada pela área interceptada (a secção da esfera):
F=p_{\text{rad}}\cdot A_{\text{esfera}}.
Substituindo os valores:
F\approx 1{,}69765\cdot 10^{-4}\cdot 7{,}853982\cdot 10^{-9}.
Multiplicando:
F\approx 1{,}33333\cdot 10^{-12}\\ \mathrm{N}.
Este é o resultado da parte (a).

Passo 8

Parte (b): quando o feixe é focalizado numa área igual à secção da esfera, a mesma potência P passa agora por uma área A_{\text{esfera}} em vez de A_{\text{feixe}}. A intensidade aumenta pelo fator
\text{fator}=\frac{A_{\text{feixe}}}{A_{\text{esfera}}}.
Como as duas áreas têm fator \pi que se cancela, podemos calcular pelo quadrado dos raios:
\text{fator}=\left(\frac{r_{\text{feixe}}}{r_{\text{esfera}}}\right)^{2}=\left(\frac{0{,}0025}{5\cdot 10^{-5}}\right)^{2}=\left(50\right)^{2}=2500.
A pressão (e portanto a força) é diretamente proporcional à intensidade, então a força sobre a esfera aumenta por esse mesmo fator 2500.

Passo 9

Parte (c): calcular que potência do laser é necessária para igualar o peso do objeto quando ele intercepta toda a potência do feixe (ou seja, feixe focalizado na área da esfera e bem alinhado).
  • peso do objeto:
W=mg=(1\cdot 10^{-9})\cdot 9{,}8=9{,}8\cdot 10^{-9}\\ \mathrm{N}.
  • força de radiação para potência interceptada P (refletora perfeita) é
F_{\text{rad}}=\frac{2P}{c}.
Queremos F_{\text{rad}}=W. Portanto
\frac{2P}{c}=mg \quad\Rightarrow\quad P=\frac{mg\,c}{2}.
Substituindo valores:
P=\frac{(1\cdot 10^{-9})(9{,}8)(3{,}00\cdot 10^{8})}{2}.
Faço as contas:
P=\frac{9{,}8\cdot 3{,}00\cdot 10^{-1}}{2}= \frac{29{,}4\cdot 10^{-1}}{2}=1{,}47\\ \mathrm{W}.
Logo é necessária uma potência de aproximadamente 1{,}47\\ \mathrm{W}.

Resposta

a) 1{,}333\cdot 10^{-12}\\ \mathrm{N}
b) 2500
c) 1{,}47\\ \mathrm{W}

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