3- A intensidade da radiação solar que atinge a atmosfera terrestre vale 0,14 \mathrm{~W} / \mathrm{cm}^{2}. Supondo uma onda monocromática (uma única frequência) e plana calcule: a) As amplitudes \mathrm{E}_{0} e \mathrm{B}_{0}. b) Sabendo que o raio do Sol é 6,9.10^{8} \mathrm{~m} e que a distância média Terra-Sol vale 1,5.10^{11} \mathrm{~m}, qual a intensidade da radiação na superfície do Sol? (considere que o sol emite ondas esféricas) c) Qual o valor da pressão de radiação na superfície solar? Expresse a resposta em atmosferas ( 1 \mathrm{~atm}=1,013.10^{5} \mathrm{~N} / \mathrm{m}^{2} \mathrm{~d} ) Quais o valores de \mathrm{E}_{0} e \mathrm{B}_{0} na superfície do Sol? Compare com o campo elétrico experimentado por um elétron no átomo de hidrogênio ( \mathrm{E}_{\mathrm{H}} =5,12 \cdot 10^{11} \mathrm{~V} / \mathrm{m} ).
a) \mathrm{E}_{0}=1,02 \cdot 10^{3} \mathrm{~V} / \mathrm{m} e \mathrm{B}_{0}=3,4 \cdot 10^{-6} \mathrm{~T}
b) 6,6.10^{3} \mathrm{~W} / \mathrm{cm}^{2}
c) 0,214 atm
d) \mathrm{E}_{0}=2,23.10^{5} \mathrm{~V} / \mathrm{m} e \mathrm{B}_{0}=7,43.10^{-4} \mathrm{~T}

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede várias coisas:
  • Intensidade da radiação solar que chega à atmosfera terrestre: \,I_{\text{terra}}=0,14\\ \mathrm{W/cm^{2}}\,.
  • Raio do Sol: \,R_{\odot}=6,9\cdot 10^{8}\\ \mathrm{m}\,.
  • Distância média Terra–Sol: \,d=1,5\cdot 10^{11}\\ \mathrm{m}\,.
  • Campo elétrico típico no átomo de hidrogênio: \,E_{H}=5,12\cdot 10^{11}\\ \mathrm{V/m}\,.
As perguntas são:
a) Calcular as amplitudes \,E_{0} e \,B_{0} da onda plana monocromática na Terra (ou seja, correspondentes a \,I_{\text{terra}}).
b) Assumindo emissão esférica pelo Sol, calcular a intensidade da radiação na superfície do Sol.
c) Calcular a pressão de radiação na superfície solar e expressá‑la em atmosferas (use \,1\\ \mathrm{atm}=1,013\cdot 10^{5}\\ \mathrm{N/m^{2}}\,).
d) Calcular \,E_{0} e \,B_{0} na superfície do Sol e comparar \,E_{0} com \,E_{H}.

Passo 2

Primeiro vamos converter a intensidade fornecida para unidades SI (W/m ^2), porque as fórmulas físicas usam SI. Lembre que 1\\ \mathrm{cm^{2}}=10^{-4}\\ \mathrm{m^{2}}, portanto multiplicamos por 10^{4}:
I_{\text{terra}} = 0,14\\ \mathrm{W/cm^{2}} = 0,14\cdot 10^{4}\\ \mathrm{W/m^{2}} = 1400\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Fica claro: a intensidade que chega à atmosfera é \,I_{\text{terra}}=1400\\ \mathrm{W/m^{2}}\,.

Passo 3

Agora a relação entre intensidade média de uma onda eletromagnética e as amplitudes dos campos. Para uma onda plana em vácuo temos
\langle S\rangle = I = \frac{1}{2}\,c\,\varepsilon_{0}\,E_{0}^{2},
onde:
  • \langle S\rangle é o valor médio do vetor de Poynting (intensidade),
  • \,c é a velocidade da luz no vácuo ( \,c=3,00\cdot 10^{8}\\ \mathrm{m/s}\,),
  • \varepsilon_{0} é a permissividade do vácuo ( \,\varepsilon_{0}=8,85\cdot 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}\,),
  • \,E_{0} é a amplitude do campo elétrico.
Explicação curta do porquê: o Poynting instantâneo vale S(t)=E(t)B(t)/\mu_{0} e para uma onda plana E_{0}=cB_{0}. Como a média temporal de \sin^{2} é 1/2, aparece o fator 1/2 no relacionamento entre I e E_{0}^{2}.
Isolando \,E_{0}:
E_{0}=\sqrt{\frac{2I}{c\varepsilon_{0}}}.
Agora substituímos I=1400\\ \mathrm{W/m^{2}}, c=3,00\cdot 10^{8}\\ \mathrm{m/s} e \varepsilon_{0}=8,85\cdot 10^{-12}\\ \mathrm{F/m}:
E_{0}=\sqrt{\frac{2\cdot 1400}{(3,00\cdot 10^{8})(8,85\cdot 10^{-12})}}.
Calculemos por partes: (3,00\cdot 10^{8})(8,85\cdot 10^{-12})=2,655\cdot 10^{-3}. Então
\frac{2\cdot 1400}{2,655\cdot 10^{-3}}=\frac{2800}{2,655\cdot 10^{-3}}\approx 1,055\cdot 10^{6},
e portanto
E_{0}\approx \sqrt{1,055\cdot 10^{6}}\approx 1,02\cdot 10^{3}\\ \mathrm{V/m}.
Isso é a amplitude do campo elétrico da onda que chega à Terra.

Passo 4

Para o campo magnético correspondente usamos a relação entre os campos em uma onda plana:
B_{0}=\frac{E_{0}}{c}.
Substituindo E_{0}=1,02\cdot 10^{3}\\ \mathrm{V/m} e c=3,00\cdot 10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
B_{0}=\frac{1,02\cdot 10^{3}}{3,00\cdot 10^{8}}\approx 3,40\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{T}.

Passo 5

Agora a parte (b): intensidade na superfície do Sol. Como o Sol emite ondas esféricas (assumimos emissão isotrópica), a potência total atravessando uma esfera de raio r é P=I(r)\cdot 4\pi r^{2}, que é constante com r. Assim
I_{\odot} = I_{\text{terra}}\cdot \frac{d^{2}}{R_{\odot}^{2}},
onde d é a distância Terra–Sol e R_{\odot} é o raio solar.
Substituindo os valores (usar I_{\text{terra}}=1400\\ \mathrm{W/m^{2}}, d=1,5\cdot 10^{11}\\ \mathrm{m}, R_{\odot}=6,9\cdot 10^{8}\\ \mathrm{m}):
\frac{d}{R_{\odot}}=\frac{1,5\cdot 10^{11}}{6,9\cdot 10^{8}}\approx 217,39,
\left(\frac{d}{R_{\odot}}\right)^{2}\approx 4,724\cdot 10^{4}.
Então
I_{\odot}=1400\cdot 4,724\cdot 10^{4}\\ \mathrm{W/m^{2}}\approx 6,61\cdot 10^{7}\\ \mathrm{W/m^{2}}.
Se quisermos expressar em \mathrm{W/cm^{2}} (dividindo por 10^{4}):
I_{\odot}\approx 6,61\cdot 10^{3}\\ \mathrm{W/cm^{2}}.

Passo 6

Parte (c): pressão de radiação na superfície solar. Para uma onda totalmente absorvida pela superfície, a pressão de radiação é
p=\frac{I}{c}.
(Se fosse reflexão perfeita, seria p=2I/c; aqui consideramos o efeito de emissão/absorção típico e usamos p=I/c.)
Usando I_{\odot}=6,61\cdot 10^{7}\\ \mathrm{W/m^{2}} e c=3,00\cdot 10^{8}\\ \mathrm{m/s}:
p=\frac{6,61\cdot 10^{7}}{3,00\cdot 10^{8}}\\ \mathrm{N/m^{2}}\approx 0,220\\ \mathrm{N/m^{2}}.
Agora convertemos para atmosferas dividindo por 1,013\cdot 10^{5}\\ \mathrm{N/m^{2}}:
p_{\text{atm}}=\frac{0,220}{1,013\cdot 10^{5}}\approx 2,17\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{atm}.
Portanto a pressão de radiação na superfície solar é da ordem de 10^{-6} atm — muito pequena comparada à pressão gasosa típica.

Passo 7

Parte (d): amplitudes E_{0} e B_{0} na superfície do Sol. Repetimos a fórmula de antes usando I_{\odot}=6,61\cdot 10^{7}\\ \mathrm{W/m^{2}}:
E_{0,\odot}=\sqrt{\frac{2I_{\odot}}{c\varepsilon_{0}}} =\sqrt{\frac{2\cdot 6,61\cdot 10^{7}}{(3,00\cdot 10^{8})(8,85\cdot 10^{-12})}}.
Calcule por partes: o denominador c\varepsilon_{0}\approx 2,655\cdot 10^{-3} como antes, numerador 2I_{\odot}\approx 1,322\cdot 10^{8}. A divisão dá cerca de 4,98\cdot 10^{10} e a raiz quadrada:
E_{0,\odot}\approx 2,23\cdot 10^{5}\\ \mathrm{V/m}.
O campo magnético correspondente é
B_{0,\odot}=\frac{E_{0,\odot}}{c}\approx \frac{2,23\cdot 10^{5}}{3,00\cdot 10^{8}}\approx 7,44\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{T}.
Comparação com o campo elétrico no átomo de hidrogênio \,E_{H}=5,12\cdot 10^{11}\\ \mathrm{V/m}: o campo elétrico da radiação na superfície do Sol é muito menor. A razão é
\frac{E_{0,\odot}}{E_{H}}\approx \frac{2,23\cdot 10^{5}}{5,12\cdot 10^{11}}\approx 4,36\cdot 10^{-7},
ou seja, \,E_{0,\odot} é cerca de 4,4\cdot 10^{-7} vezes \,E_{H}, ou, invertendo, \,E_{H} é aproximadamente 2,3\cdot 10^{6} vezes maior que \,E_{0,\odot}.

Resposta

(a) \,E_{0}=1,02\cdot 10^{3}\\ \mathrm{V/m},\quad B_{0}=3,40\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{T}\n
(b) \,I_{\odot}=6,61\cdot 10^{3}\\ \mathrm{W/cm^{2}}\n
(c) \,p\approx 2,17\cdot 10^{-6}\\ \mathrm{atm}\n
(d) \,E_{0,\odot}=2,23\cdot 10^{5}\\ \mathrm{V/m},\quad B_{0,\odot}=7,44\cdot 10^{-4}\\ \mathrm{T}. \,E_{0,\odot} é cerca de 4,36\cdot 10^{-7} vezes E_{H} (ou seja, muito menor).

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