O motor a Diesel foi concebido pelo engenheiro alemão Rudolf Diesel como uma alternativa mais eficiente que o motor de Otto, sendo patenteado em 1892. Seu funcionamento baseia-se na ignição por compressão. O ciclo de Diesel consiste:
  • numa compressão adiabática, com taxa de compressão alta o suficiente tal que o gás comprimido atinja a temperatura de queima do combustível;
  • numa expansão isobárica, resultante do calor fornecido pela queima do combustível;
  • numa expansão adiabática;
  • e num resfriamento isocórico, quando combustível e ar queimados são expelidos de dentro do motor.
Considere um mol de gás operando uma máquina térmica através de um ciclo de Diesel. Identifique o ponto 1 como o de máxima pressão P 1 e menor volume V 1, seguido do ponto 2 no fim do processo isobárico, do ponto 3 no fim da expansão adiabática, e do ponto 4 no fim do resfriamento isocórico. A razão entre os volumes dos pontos 3 e 2 é V 3 V 2=a, e as temperaturas nos pontos 1 e 3 são iguais. Anotem as resoluções e respostas aos itens abaixo em uma folha a ser entregue por equipe.
(a) Desenhe o ciclo de Diesel no diagrama P V, identificando os pontos 1, 2, 3 e 4 acima especificados.
(b) Cada membro da equipe deve relacionar as variáveis termodinâmicas de dois pontos deste ciclo, da seguinte maneira:
  • relacione as pressões (P) e os volumes (V) do ponto 2 e do ponto 3 ;
  • relacione P e V do ponto 1 e do ponto 4;
  • relacione V do ponto 1 e do ponto 2 , e P do ponto 3 e do ponto 4 .
    (c) Todos os membros agora organizam as relações obtidas para obter P, V e T nos pontos 2 , 3 e 4 apenas em termos de P, V e T no ponto 1 , respectivamente, da razão a=V 3 / V 2 e da razão y=c P / c V.
    (d) Determine, para cada processo, o trabalho W que o entorno faz sobre o sistema, o calor trocado Q, a variação da energia interna \Delta E e a variação da entropia \Delta S. Caso necessário, dividam a tarefa da maneira que julgarem mais conveniente.
    (e) Com os resultados acima, qual é a eficiência deste ciclo?

Passo 1

O enunciado pede que a gente trate um ciclo de Diesel operando com 1 mol de gás ideal, com os pontos numerados assim:
  • Ponto 1: pressão máxima \,P_1 e volume mínimo \,V_1.
  • Ponto 2: fim do processo isobárico (isto é, 1\to2 é isobárico).
  • Ponto 3: fim da expansão adiabática (isto é, 2\to3 adiabática reversível).
  • Ponto 4: fim do resfriamento isocórico (isto é, 3\to4 isocórico) e depois 4\to1 é a compressão adiabática que fecha o ciclo.
Dados e condições fornecidas:
  • Razão entre volumes \displaystyle a=\frac{V_3}{V_2}.
  • As temperaturas nos pontos 1 e 3 são iguais: \displaystyle T_1=T_3.
  • O gás é ideal (uma mol), então vale \displaystyle P V = R T.
  • A razão de capacidades térmicas é \displaystyle \gamma=\frac{c_p}{c_v} (o enunciado usou y, vou usar \gamma).
O que é pedido:
(a) desenhar/identificar o ciclo no diagrama P\!-\!V e marcar os pontos.
(b) relacionar variáveis (pares) pedidas entre pontos (pressões e volumes).
(c) expressar P,V,T nos pontos 2,3,4 em termos de P_1,V_1,T_1,a,\gamma.
(d) para cada processo: trabalho W que o entorno faz sobre o sistema, calor trocado Q, variação de energia interna \Delta E e variação de entropia \Delta S.
(e) obter a eficiência do ciclo.
A partir daqui começamos as relações e cálculos passo a passo.

Passo 2

Desenho e interpretação do ciclo no diagrama P\!-\!V (descrição, porque aqui não consigo desenhar à mão livre):
  • O ciclo que vamos percorrer (no sentido horário, típico para motor que entrega trabalho) é:
    1. 1\to2: isobárico (pressão constante igual a P_1), volume aumenta de V_1 para V_2.
    2. 2\to3: expansão adiabática reversível (curva adiabática descendo em P enquanto V aumenta até V_3).
    3. 3\to4: resfriamento isocórico (volume constante V_3, pressão e temperatura caem de P_3,T_3 para P_4,T_4).
    4. 4\to1: compressão adiabática reversível (curva adiabática subindo em P enquanto V diminui de V_4 para V_1), fechando o ciclo.
Rótulos importantes no gráfico:
  • Linha horizontal (isobárica) entre V_1 e V_2 em altura P_1.
  • Curva adiabática ligando 2 a 3.
  • Linha vertical (isochora) em V_3 entre P_3 e P_4.
  • Curva adiabática ligando 4 a 1.
Observação rápida: o enunciado definiu 1 como ponto de máxima pressão e menor volume, então V_1 é menor que os demais volumes e P_1 é a pressão “alta” usada na etapa isobárica 1\to2.

Passo 3

Relacionando variáveis pedidas (aplicando leis básicas):
Lembretes úteis (e mínimos) que usaremos:
  • Lei dos gases ideais (1 mol): \displaystyle P V = R T.
  • Para um processo adiabático reversível de gás ideal: \displaystyle P V^{\gamma}=\text{const} e \displaystyle T V^{\gamma-1}=\text{const}.
  • Para isobárico: P é constante; para isocórico: V é constante.
  • c_p - c_v = R (para 1 mol).
Agora as relações pedidas:
  1. Pressões e volumes dos pontos 2 e 3:
  • Como 1\to2 é isobárico com pressão P_1, temos \displaystyle P_2=P_1.
  • Para a adiabática 2\to3 vale \displaystyle P_2 V_2^{\gamma}=P_3 V_3^{\gamma}.
    Substituindo P_2=P_1 e V_3=a V_2 resulta: P_1 V_2^{\gamma}=P_3 (a V_2)^{\gamma}\quad\Rightarrow\quad P_3=\frac{P_1}{a^{\gamma}}.
  1. Relação entre P e V dos pontos 1 e 4:
  • Para a adiabática 4\to1 vale \displaystyle P_4 V_4^{\gamma}=P_1 V_1^{\gamma}.
    Observação: V_4=V_3 (porque 3\to4 é isocórico). Portanto P_4=\frac{P_1 V_1^{\gamma}}{V_4^{\gamma}}=\;P_1\left(\frac{V_1}{V_4}\right)^{\gamma}.
  1. Relação entre V do ponto 1 e V do ponto 2, e entre P do ponto 3 e P do ponto 4:
  • Da igualdade de temperaturas fornecida T_1=T_3 e da lei dos gases: P_1 V_1 = R T_1 \quad\text{e}\quad P_3 V_3 = R T_3 = R T_1.Logo P_3 V_3 = P_1 V_1. Como já achamos P_3=\dfrac{P_1}{a^{\gamma}} e V_3=a V_2, podemos usar isso para ligar V_2 e V_1 (detalhes no próximo passo).
Resumo intermediário: já temos P_2=P_1 e P_3=P_1 a^{-\gamma}, e a igualdade P_3 V_3 = P_1 V_1 permitirá obter V_2 em termos de V_1 e a.

Passo 4

Expressões explícitas de P,V,T em 2,3,4 usando P_1,V_1,T_1,a,\gamma.
Vamos achar V_2 primeiro usando P_3 V_3 = P_1 V_1:
  • Substituindo P_3 = P_1 a^{-\gamma} e V_3 = a V_2 temos \frac{P_1}{a^{\gamma}}\cdot (a V_2) = P_1 V_1Cancelando P_1: a^{1-\gamma} V_2 = V_1 \quad\Rightarrow\quad V_2 = V_1\, a^{\gamma-1}.
Agora obtenha as demais quantidades:
  • V_3 = a V_2 = a \cdot V_1 a^{\gamma-1} = V_1 a^{\gamma}.
  • Como 1\to2 é isobárico: \displaystyle P_2 = P_1.
  • Já tínhamos: \displaystyle P_3 = \frac{P_1}{a^{\gamma}}.
  • V_4 = V_3 = V_1 a^{\gamma}.
  • Pela adiabática 4\to1: \displaystyle P_4 = P_1\left(\frac{V_1}{V_4}\right)^{\gamma} = P_1 a^{-\gamma^{2}}. (porque V_4=V_1 a^{\gamma}, então (V_1/V_4)^\gamma = a^{-\gamma^2}.)
Temperaturas via \displaystyle T=\frac{P V}{R} (e lembrando T_1 dado):
  • T_2 = \dfrac{P_2 V_2}{R} = \dfrac{P_1 \cdot V_1 a^{\gamma-1}}{R} = T_1\, a^{\gamma-1}.
  • T_3 = T_1 (dado).
  • T_4 = \dfrac{P_4 V_4}{R} = \dfrac{P_1 a^{-\gamma^{2}} \cdot V_1 a^{\gamma}}{R} = T_1\, a^{\gamma-\gamma^{2}}.
    Observação: \displaystyle a^{\gamma-\gamma^{2}}=a^{-\gamma(\gamma-1)}.
Para resumir, em termos de P_1,V_1,T_1,a,\gamma:
\begin{aligned} &V_2 = V_1\, a^{\gamma-1}, \qquad V_3 = V_1\, a^{\gamma}, \qquad V_4 = V_1\, a^{\gamma},\\\ &P_2 = P_1, \qquad P_3 = P_1\, a^{-\gamma}, \qquad P_4 = P_1\, a^{-\gamma^{2}},\\\ &T_2 = T_1\, a^{\gamma-1}, \qquad T_3 = T_1, \qquad T_4 = T_1\, a^{\gamma-\gamma^{2}}. \end{aligned}

Passo 5

Cálculo de W (trabalho que o entorno faz sobre o sistema), Q, \Delta E e \Delta S para cada processo. Vou usar a convenção: W é trabalho feito sobre o sistema pelo entorno (positivo quando o entorno comprime o gás). A Primeira Lei na forma que usaremos:
\Delta E = Q + W.
Energia interna de um gás ideal (1 mol): E = c_v T, então \Delta E = c_v (T_{\text{final}}-T_{\text{inicial}}).
Processo 1\to2 (isobárico, P=P_1, V_1\to V_2, T_1\to T_2):
  • Trabalho feito sobre o sistema: W_{1\to2} = -\int_{V_1}^{V_2} P\,dV = -P_1 (V_2-V_1).Usando P_1 V_1 = R T_1 e P_1(V_2-V_1) = R(T_2-T_1) obtemos W_{1\to2} = -R T_1\bigl(a^{\gamma-1}-1\bigr).
  • Variação de energia interna: \Delta E_{1\to2} = c_v (T_2-T_1) = c_v T_1\bigl(a^{\gamma-1}-1\bigr).
  • Calor trocado (pela 1ª lei Q=\Delta E - W, ou reconhecendo processo isobárico Q=c_p \Delta T): Q_{1\to2} = c_p (T_2-T_1) = c_p T_1\bigl(a^{\gamma-1}-1\bigr).
  • Variação de entropia (processo reversível): \Delta S_{1\to2} = \int_{T_1}^{T_2} \frac{c_p dT}{T} = c_p \ln\!\biggl(\frac{T_2}{T_1}\biggr)=c_p(\gamma-1)\ln a.(Usamos T_2/T_1=a^{\gamma-1}.)
Processo 2\to3 (adiabático reversível, Q=0, T_2\to T_3=T_1):
  • Q_{2\to3}=0.
  • Variação da energia interna: \Delta E_{2\to3} = c_v (T_3-T_2) = c_v T_1\bigl(1 - a^{\gamma-1}\bigr).
  • Trabalho feito sobre o sistema (já que Q=0, W=\Delta E): W_{2\to3} = \Delta E_{2\to3} = c_v T_1\bigl(1 - a^{\gamma-1}\bigr).(Esse W_{2\to3} é positivo se T_3>T_2 — aqui T_3=T_1 e tipicamente T_2>T_1 se a^{\gamma-1}>1, então W_{2\to3} será negativo, significando que o entorno recebe trabalho — lembre do sinal.)
  • Variação de entropia: \Delta S_{2\to3}=0 \quad\text{(adiabático reversível).}áí
Processo 3\to4 (isocórico, V=V_3 constante):
  • Trabalho sobre o sistema: W_{3\to4}=0 \quad(\text{nenhum trabalho em isocora}).
  • Variação de energia interna: \Delta E_{3\to4} = c_v (T_4-T_3) = c_v T_1\bigl(a^{\gamma-\gamma^{2}}-1\bigr).
  • Calor trocado: Q_{3\to4} = \Delta E_{3\to4} = c_v T_1\bigl(a^{\gamma-\gamma^{2}}-1\bigr).(Esse Q_{3\to4} é negativo quando T_4<T_3, isto é, quando calor é rejeitado.)
  • Variação de entropia: \Delta S_{3\to4} = \int_{T_3}^{T_4} \frac{c_v\,dT}{T} = c_v \ln\!\biggl(\frac{T_4}{T_3}\biggr) = c_v(\gamma-\gamma^{2})\ln a.Observação: \gamma-\gamma^{2}=-\gamma(\gamma-1), então esta entropia é negativa (como esperado para rejeição de calor).
Processo 4\to1 (adiabático reversível, Q=0):
  • Q_{4\to1}=0.
  • Variação de energia interna: \Delta E_{4\to1} = c_v (T_1-T_4) = c_v T_1\bigl(1 - a^{\gamma-\gamma^{2}}\bigr).
  • Trabalho sobre o sistema: W_{4\to1} = \Delta E_{4\to1} = c_v T_1\bigl(1 - a^{\gamma-\gamma^{2}}\bigr).
  • Variação de entropia: \Delta S_{4\to1}=0.
Cheque de consistência (rápido):
  • Soma das entropias no ciclo: \Delta S_{1\to2}+\Delta S_{2\to3}+\Delta S_{3\to4}+\Delta S_{4\to1}=0 (pois ciclo reversível) — de fato c_p(\gamma-1)\ln a + 0 + c_v(\gamma-\gamma^2)\ln a + 0 = 0, usando c_p=\gamma c_v.

Passo 6

Eficiência do ciclo.
Definição de eficiência térmica (motor térmico operando entre entradas e rejeições):
\eta = \frac{\text{trabalho líquido produzido pelo sistema}}{\text{calor absorvido}}.í
Aqui é mais direto usar a conservação de energia para o ciclo: trabalho líquido produzido pelo sistema (no sentido “por” o sistema) é W_{\text{net,by}} = Q_{\text{in}} + Q_{\text{out}} + \dots. Tomando como entrada de calor o processo 1\to2 ( Q_{1\to2}>0) e rejeição o processo 3\to4 ( Q_{3\to4}<0 ), temos, em módulo:
\eta = \frac{W_{\text{net,by}}}{Q_{1\to2}} = 1 - \frac{|Q_{3\to4}|}{Q_{1\to2}} = 1 + \frac{Q_{3\to4}}{Q_{1\to2}}.
Substituindo as expressões encontradas:
  • Q_{1\to2}=c_p T_1\bigl(a^{\gamma-1}-1\bigr).
  • Q_{3\to4}=c_v T_1\bigl(a^{\gamma-\gamma^{2}}-1\bigr).
Usando c_p=\gamma c_v obtemos
\eta = 1 + \frac{c_v T_1\bigl(a^{\gamma-\gamma^{2}}-1\bigr)}{\gamma c_v T_1\bigl(a^{\gamma-1}-1\bigr)} = 1 + \frac{a^{\gamma-\gamma^{2}}-1}{\gamma\bigl(a^{\gamma-1}-1\bigr)}.
Podemos reescrever a^{\gamma-\gamma^{2}}=a^{-\gamma(\gamma-1)}. Uma forma mais “arrumada” é
\boxed{\,\displaystyle \eta = 1 - \frac{1 - a^{-\gamma(\gamma-1)}}{\gamma\bigl(a^{\gamma-1}-1\bigr)}\, }.
Essa é a eficiência do ciclo de Diesel expressa em termos de a=\dfrac{V_3}{V_2} e \gamma.
Interpretação rápida: para a\to 1 (quase sem etapa isobárica), a eficiência tende a 1-\frac{1}{\gamma} (?) — é interessante checar limites, mas aqui o enunciado pediu a expressão geral e os termos intermediários.

Resposta

(a) Ciclo no diagrama P\!-\!V: 1\to2 horizontal (isobárico) em P_1 de V_1 até V_2; 2\to3 curva adiabática até V_3; 3\to4 vertical (isocórico) em V_3; 4\to1 curva adiabática de volta a V_1.
(b) Relações pedidas:
  • Entre P e V dos pontos 2 e 3: P_2=P_1,\qquad P_2 V_2^{\gamma}=P_3 V_3^{\gamma}\quad\Rightarrow\quad P_3=\frac{P_1}{a^{\gamma}}.
  • Entre P e V dos pontos 1 e 4: P_4 V_4^{\gamma}=P_1 V_1^{\gamma}\quad\Rightarrow\quad P_4=P_1\Big(\frac{V_1}{V_4}\Big)^{\gamma}.
  • Entre V dos pontos 1 e 2, e P dos pontos 3 e 4: V_2=V_1\,a^{\gamma-1},\qquad V_3=aV_2=V_1 a^{\gamma},\qquad P_4=P_1 a^{-\gamma^{2}}.
(c) Valores em termos de P_1,V_1,T_1,a,\gamma:
\begin{aligned} &V_2 = V_1\, a^{\gamma-1},\quad V_3 = V_1\, a^{\gamma},\quad V_4 = V_1\, a^{\gamma},\\\ &P_2 = P_1,\quad P_3 = P_1\, a^{-\gamma},\quad P_4 = P_1\, a^{-\gamma^{2}},\\\ &T_2 = T_1\, a^{\gamma-1},\quad T_3 = T_1,\quad T_4 = T_1\, a^{\gamma-\gamma^{2}}. \end{aligned}
(d) Para cada processo ( W = trabalho que o entorno faz sobre o sistema):
  • 1\to2 (isobárico): W_{1\to2} = -R T_1\bigl(a^{\gamma-1}-1\bigr),\quad \Delta E_{1\to2} = c_v T_1\bigl(a^{\gamma-1}-1\bigr),
Q_{1\to2} = c_p T_1\bigl(a^{\gamma-1}-1\bigr),\quad \Delta S_{1\to2} = c_p(\gamma-1)\ln a.
  • 2\to3 (adiabático reversível): Q_{2\to3}=0,\quad \Delta E_{2\to3}=c_v T_1\bigl(1-a^{\gamma-1}\bigr),\quad W_{2\to3}=c_v T_1\bigl(1-a^{\gamma-1}\bigr),
\Delta S_{2\to3}=0.
  • 3\to4 (isocórico): W_{3\to4}=0,\quad \Delta E_{3\to4}=c_v T_1\bigl(a^{\gamma-\gamma^{2}}-1\bigr),
Q_{3\to4}=c_v T_1\bigl(a^{\gamma-\gamma^{2}}-1\bigr),\quad \Delta S_{3\to4}=c_v(\gamma-\gamma^{2})\ln a.
  • 4\to1 (adiabático reversível): Q_{4\to1}=0,\quad \Delta E_{4\to1}=c_v T_1\bigl(1-a^{\gamma-\gamma^{2}}\bigr),\quad W_{4\to1}=c_v T_1\bigl(1-a^{\gamma-\gamma^{2}}\bigr),
\Delta S_{4\to1}=0.
(e) Eficiência do ciclo:
\boxed{\,\displaystyle \eta \;=\; 1 + \frac{Q_{3\to4}}{Q_{1\to2}} \;=\; 1 + \frac{a^{\gamma-\gamma^{2}}-1}{\gamma\bigl(a^{\gamma-1}-1\bigr)} \;=\; 1 - \frac{1 - a^{-\gamma(\gamma-1)}}{\gamma\bigl(a^{\gamma-1}-1\bigr)}\,.}

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