O motor a Diesel foi concebido pelo engenheiro alemão Rudolf Diesel como uma alternativa mais eficiente que o motor de Otto, sendo patenteado em 1892. Seu funcionamento baseia-se na ignição por compressão. O ciclo de Diesel consiste:
- numa compressão adiabática, com taxa de compressão alta o suficiente tal que o gás comprimido atinja a temperatura de queima do combustível;
- numa expansão isobárica, resultante do calor fornecido pela queima do combustível;
- numa expansão adiabática;
- e num resfriamento isocórico, quando combustível e ar queimados são expelidos de dentro do motor.
Considere um mol de gás operando uma máquina térmica através de um ciclo de Diesel. Identifique o ponto 1 como o de máxima pressão
e menor volume
, seguido do ponto 2 no fim do processo isobárico, do ponto 3 no fim da expansão adiabática, e do ponto 4 no fim do resfriamento isocórico. A razão entre os volumes dos pontos 3 e 2 é
, e as temperaturas nos pontos 1 e 3 são iguais. Anotem as resoluções e respostas aos itens abaixo em uma folha a ser entregue por equipe.
(a) Desenhe o ciclo de Diesel no diagrama
, identificando os pontos 1, 2, 3 e 4 acima especificados.
(b) Cada membro da equipe deve relacionar as variáveis termodinâmicas de dois pontos deste ciclo, da seguinte maneira:
- relacione as pressões
e os volumes
do ponto 2 e do ponto 3 ;
- relacione
e
do ponto 1 e do ponto 4;
- relacione
do ponto 1 e do ponto 2 , e
do ponto 3 e do ponto 4 .
(c) Todos os membros agora organizam as relações obtidas para obter
e
nos pontos 2 , 3 e 4 apenas em termos de
e
no ponto 1 , respectivamente, da razão
e da razão
.
(d) Determine, para cada processo, o trabalho
que o entorno faz sobre o sistema, o calor trocado
, a variação da energia interna
e a variação da entropia
. Caso necessário, dividam a tarefa da maneira que julgarem mais conveniente.
(e) Com os resultados acima, qual é a eficiência deste ciclo?
(a) Desenhe o ciclo de Diesel no diagrama
(b) Cada membro da equipe deve relacionar as variáveis termodinâmicas de dois pontos deste ciclo, da seguinte maneira:
(c) Todos os membros agora organizam as relações obtidas para obter
(d) Determine, para cada processo, o trabalho
(e) Com os resultados acima, qual é a eficiência deste ciclo?
Passo 1
O enunciado pede que a gente trate um ciclo de Diesel operando com
mol de gás ideal, com os pontos numerados assim:
- Ponto
: pressão máxima e volume mínimo . - Ponto
: fim do processo isobárico (isto é, é isobárico). - Ponto
: fim da expansão adiabática (isto é, adiabática reversível). - Ponto
: fim do resfriamento isocórico (isto é, isocórico) e depois é a compressão adiabática que fecha o ciclo.
Dados e condições fornecidas:
- Razão entre volumes
. - As temperaturas nos pontos
e são iguais: . - O gás é ideal (uma mol), então vale
. - A razão de capacidades térmicas é
(o enunciado usou , vou usar ).
O que é pedido:
(a) desenhar/identificar o ciclo no diagrama e marcar os pontos.
(b) relacionar variáveis (pares) pedidas entre pontos (pressões e volumes).
(c) expressar nos pontos
em termos de
.
(d) para cada processo: trabalho que o entorno faz sobre o sistema, calor trocado
, variação de energia interna
e variação de entropia
.
(e) obter a eficiência do ciclo.
(a) desenhar/identificar o ciclo no diagrama
(b) relacionar variáveis (pares) pedidas entre pontos (pressões e volumes).
(c) expressar
(d) para cada processo: trabalho
(e) obter a eficiência do ciclo.
A partir daqui começamos as relações e cálculos passo a passo.
Passo 2
Desenho e interpretação do ciclo no diagrama
(descrição, porque aqui não consigo desenhar à mão livre):
- O ciclo que vamos percorrer (no sentido horário, típico para motor que entrega trabalho) é:
-
: isobárico (pressão constante igual a ), volume aumenta de para . -
: expansão adiabática reversível (curva adiabática descendo em enquanto aumenta até ). -
: resfriamento isocórico (volume constante , pressão e temperatura caem de para ). -
: compressão adiabática reversível (curva adiabática subindo em enquanto diminui de para ), fechando o ciclo.
-
Rótulos importantes no gráfico:
- Linha horizontal (isobárica) entre
e em altura . - Curva adiabática ligando
a . - Linha vertical (isochora) em
entre e . - Curva adiabática ligando
a .
Observação rápida: o enunciado definiu
como ponto de máxima pressão e menor volume, então
é menor que os demais volumes e
é a pressão “alta” usada na etapa isobárica
.
Passo 3
Relacionando variáveis pedidas (aplicando leis básicas):
Lembretes úteis (e mínimos) que usaremos:
- Lei dos gases ideais (1 mol):
. - Para um processo adiabático reversível de gás ideal:
e . - Para isobárico:
é constante; para isocórico: é constante. -
(para 1 mol).
Agora as relações pedidas:
- Pressões e volumes dos pontos
e :
- Como
é isobárico com pressão , temos . - Para a adiabática
vale .
Substituindoe resulta:
- Relação entre
e dos pontos e :
- Para a adiabática
vale .
Observação:(porque é isocórico). Portanto
- Relação entre
do ponto e do ponto , e entre do ponto e do ponto :
- Da igualdade de temperaturas fornecida
e da lei dos gases: Logo . Como já achamos e , podemos usar isso para ligar e (detalhes no próximo passo).
Resumo intermediário: já temos
e
, e a igualdade
permitirá obter
em termos de
e
.
Passo 4
Expressões explícitas de
em
usando
.
Vamos achar
primeiro usando
:
- Substituindo
e temos Cancelando :
Agora obtenha as demais quantidades:
-
- Como
é isobárico: - Já tínhamos:
-
- Pela adiabática
: (porque , então .)
Temperaturas via
(e lembrando
dado):
-
-
(dado). -
Observação:.
Para resumir, em termos de
:
Passo 5
Cálculo de
(trabalho que o entorno faz sobre o sistema),
,
e
para cada processo. Vou usar a convenção:
é trabalho feito sobre o sistema pelo entorno (positivo quando o entorno comprime o gás). A Primeira Lei na forma que usaremos:
Energia interna de um gás ideal (1 mol):
, então
.
Processo
(isobárico,
,
,
):
- Trabalho feito sobre o sistema:
Usando e obtemos - Variação de energia interna:
- Calor trocado (pela 1ª lei
, ou reconhecendo processo isobárico ): - Variação de entropia (processo reversível):
(Usamos .)
Processo
(adiabático reversível,
,
):
-
- Variação da energia interna:
- Trabalho feito sobre o sistema (já que
, ): (Esse é positivo se — aqui e tipicamente se , então será negativo, significando que o entorno recebe trabalho — lembre do sinal.) - Variação de entropia:
Processo
(isocórico,
constante):
- Trabalho sobre o sistema:
- Variação de energia interna:
- Calor trocado:
(Esse é negativo quando , isto é, quando calor é rejeitado.) - Variação de entropia:
Observação: , então esta entropia é negativa (como esperado para rejeição de calor).
Processo
(adiabático reversível,
):
-
- Variação de energia interna:
- Trabalho sobre o sistema:
- Variação de entropia:
Cheque de consistência (rápido):
- Soma das entropias no ciclo:
(pois ciclo reversível) — de fato , usando .
Passo 6
Eficiência do ciclo.
Definição de eficiência térmica (motor térmico operando entre entradas e rejeições):
Aqui é mais direto usar a conservação de energia para o ciclo: trabalho líquido produzido pelo sistema (no sentido “por” o sistema) é
. Tomando como entrada de calor o processo
(
) e rejeição o processo
(
), temos, em módulo:
Substituindo as expressões encontradas:
-
. -
.
Usando
obtemos
Podemos reescrever
. Uma forma mais “arrumada” é
Essa é a eficiência do ciclo de Diesel expressa em termos de
e
.
Interpretação rápida: para
(quase sem etapa isobárica), a eficiência tende a
(?) — é interessante checar limites, mas aqui o enunciado pediu a expressão geral e os termos intermediários.
Resposta
(a) Ciclo no diagrama
:
horizontal (isobárico) em
de
até
;
curva adiabática até
;
vertical (isocórico) em
;
curva adiabática de volta a
.
(b) Relações pedidas:
- Entre
e dos pontos e : - Entre
e dos pontos e : - Entre
dos pontos e , e dos pontos e :
(c) Valores em termos de
:
(d) Para cada processo (
= trabalho que o entorno faz sobre o sistema):
-
(isobárico):
-
(adiabático reversível):
-
(isocórico):
-
(adiabático reversível):
(e) Eficiência do ciclo: