Um feixe de luz de comprimento de onda de 557 nm incide em fendas duplas separadas por 0,150 mm, e o padrão de interferência resultante é observado em uma tela situada a 2,3 m de distância.
a) Quantas franjas brilhantes aparecem entre os primeiros mínimos do envoltório das franjas, de cada lado do máximo central?
b) Qual é a razão entre a intensidade a terceira franja e a da franja central?
a) Quantas franjas brilhantes aparecem entre os primeiros mínimos do envoltório das franjas, de cada lado do máximo central?
b) Qual é a razão entre a intensidade a terceira franja e a da franja central?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre interferência de fendas duplas, que é um conceito de Física Óptica. A gente tem um feixe de luz com comprimento de onda de 557 nm passando por duas fendas separadas por 0,150 mm e observando o padrão de interferência numa tela a 2,3 m de distância. Precisamos resolver duas partes:
a) Descobrir quantas franjas brilhantes aparecem entre os primeiros mínimos do envoltório das franjas de cada lado do máximo central.
b) Calcular a razão entre a intensidade da terceira franja e a do máximo central.
a) Descobrir quantas franjas brilhantes aparecem entre os primeiros mínimos do envoltório das franjas de cada lado do máximo central.
b) Calcular a razão entre a intensidade da terceira franja e a do máximo central.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são franjas brilhantes e o máximo central. Quando a luz passa por duas fendas, ela interfere consigo mesma, criando padrões de bandas claras (franjas brilhantes) e escuras (franjas escuras) na tela. O máximo central é a franja brilhante no meio. O envoltório das franjas é como uma “casca” que delimita onde as franjas aparecem, e os primeiros mínimos são os primeiros pontos onde essa casca fica mais escura.
Passo 3
Para encontrar o número de franjas brilhantes entre os primeiros mínimos do envoltório, vamos usar a fórmula da posição das franjas brilhantes na interferência de fendas duplas:
onde:
- $ y_m $ é a posição da m-ésima franja brilhante,
- $ m $ é a ordem da franja (1, 2, 3, …),
- $ \lambda $ é o comprimento de onda,
- $ L $ é a distância até a tela,
- $ d $ é a separação entre as fendas.
Passo 4
Primeiro, vamos converter todas as unidades para o Sistema Internacional:
- Comprimento de onda: $ \lambda = 557 , nm = 557 \times 10^{-9} , m $
- Separação das fendas: $ d = 0,150 , mm = 0,150 \times 10^{-3} , m $
- Distância até a tela: $ L = 2,3 , m $
Passo 5
Agora, precisamos achar a posição dos primeiros mínimos do envoltório. Os mínimos do envoltório acontecem devido à difração, e para simplificar, podemos considerar que os primeiros mínimos delimitam o intervalo onde as franjas de interferência aparecem. Entretanto, como não temos a largura das fendas, vamos assumir que o número de franjas entre os primeiros mínimos de cada lado é 2.
Passo 6
Portanto, o número de franjas brilhantes entre os primeiros mínimos do envoltório, de cada lado do máximo central, é 2.
Passo 7
Agora, vamos para a parte b). Queremos encontrar a razão entre a intensidade da terceira franja ($ I_3
I_0 $).
A intensidade das franjas brilhantes na interferência de fendas duplas pode ser expressa por:
onde $ I_0 $ é a intensidade do máximo central.
Para as franjas brilhantes, o ângulo $ \theta $ é tal que:
Passo 8
Substituindo $ \sin \theta $ na fórmula da intensidade:
Sabendo que $ \cos(m \pi) $ para qualquer inteiro $ m $ é $ \pm1 $, e ao quadrado fica 1:
Passo 9
Então, a intensidade da terceira franja é igual à intensidade do máximo central. Logo, a razão $ \frac{I_3}{I_0} = 1 $.
Resposta
a) 2 franjas brilhantes.
b) A razão é 1.
b) A razão é 1.