Dados os vetores \mathbf{v}_{1}=\left(\begin{array}{lll}4 & -2 & 3\end{array}\right)^{\mathrm{T}}, \mathbf{v}_{2}=\left(\begin{array}{lll}1 & 3 & -2\end{array}\right)^{\mathrm{T}} \mathrm{e} \mathbf{v}_{3}=\left(\begin{array}{lll}-3 & 1 & 0\end{array}\right)^{\mathrm{T}} efetue as mesmas operações do primeiro exercício, que são:
a) \mathbf{2} \mathbf{v}_{\mathbf{1}}+\mathbf{v}_{\mathbf{3}}
b) 2 \mathbf{v}_{\mathbf{1}}-3 \mathbf{v}_{\mathbf{2}}-\mathbf{v}_{\mathbf{3}}

Passo 1

O enunciado dá três vetores coluna e pede que você efetue duas operações. Vou listar exatamente o que é pedido e os dados fornecidos.
Dados:
\mathbf{v}_{1}=\begin{pmatrix}4\\\ -2\\\ 3\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}_{2}=\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ -2\end{pmatrix},\qquad \mathbf{v}_{3}=\begin{pmatrix}-3\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Perguntas:
a) Calcular \,2\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{3}\,.
b) Calcular \,2\mathbf{v}_{1}-3\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{3}\,.

Passo 2

Conceito importante (o ferramental que vamos usar): representação e operações com vetores coluna. Um vetor coluna em \mathbb{R}^{3} tem três componentes; escrevemos por exemplo
\mathbf{u}=\begin{pmatrix}u_{1}\\[4pt]u_{2}\\[4pt]u_{3}\end{pmatrix},
onde u_{1},u_{2},u_{3} são números (as componentes).
Regra de multiplicação por escalar: se c é um número real, então
c\mathbf{u}=\begin{pmatrix}c\,u_{1}\\[4pt]c\,u_{2}\\[4pt]c\,u_{3}\end{pmatrix}.
Isto significa: multiplicar cada componente do vetor pelo escalar c.]

Passo 3

Um exemplo curto para fixar: se \mathbf{u}=(1,2,3)^{\mathrm{T}} e c=2, então
2\mathbf{u}=\begin{pmatrix}2\cdot1\\[4pt]2\cdot2\\[4pt]2\cdot3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\\[4pt]4\\[4pt]6\end{pmatrix}.
Viu? Cada entrada foi multiplicada por 2.]

Passo 4

Regra de adição e subtração de vetores: para \mathbf{u}=\begin{pmatrix}u_{1}\u_{2}\u_{3}\end{pmatrix} e \mathbf{w}=\begin{pmatrix}w_{1}\w_{2}\w_{3}\end{pmatrix},
\mathbf{u}+\mathbf{w}=\begin{pmatrix}u_{1}+w_{1}\\[4pt]u_{2}+w_{2}\\[4pt]u_{3}+w_{3}\end{pmatrix},\qquad \mathbf{u}-\mathbf{w}=\begin{pmatrix}u_{1}-w_{1}\\[4pt]u_{2}-w_{2}\\[4pt]u_{3}-w_{3}\end{pmatrix}.
Ou seja: somar/subtrair componente a componente.]

Passo 5

Exemplo rápido de adição: se \mathbf{a}=(2,-1,0)^{\mathrm{T}} e \mathbf{b}=(-3,4,1)^{\mathrm{T}}, então
\mathbf{a}+\mathbf{b}=\begin{pmatrix}2+(-3)\\[4pt]-1+4\\[4pt]0+1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\[4pt]3\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Pronto — sempre componente por componente.]

Passo 6

Agora vamos aplicar as regras ao item (a): calcular \,2\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{3}.
Primeiro calcule 2\mathbf{v}_{1} usando a regra do passo 2:
2\mathbf{v}_{1}=2\begin{pmatrix}4\\[4pt]-2\\[4pt]3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2\cdot4\\[4pt]2\cdot(-2)\\[4pt]2\cdot3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}8\\[4pt]-4\\[4pt]6\end{pmatrix}.]

Passo 7

Ainda no (a), some 2\mathbf{v}_{1} com \mathbf{v}_{3} componente a componente:
2\mathbf{v}_{1}+\mathbf{v}_{3}= \begin{pmatrix}8\\[4pt]-4\\[4pt]6\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8+(-3)\\[4pt]-4+1\\[4pt]6+0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\[4pt]-3\\[4pt]6\end{pmatrix}.]

Passo 8

Vamos ao item (b): calcular \,2\mathbf{v}_{1}-3\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{3}.
Uma estratégia clara é calcular cada múltiplo por escalar separado e depois combinar por adição/subtração componente a componente.
Já temos 2\mathbf{v}_{1}=\begin{pmatrix}8\\[4pt]-4\\[4pt]6\end{pmatrix} do passo 6.
Calcule agora 3\mathbf{v}_{2}:
3\mathbf{v}_{2}=3\begin{pmatrix}1\\[4pt]3\\[4pt]-2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}3\\[4pt]9\\[4pt]-6\end{pmatrix}.]

Passo 9

Como a expressão é 2\mathbf{v}_{1}-3\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{3}, podemos fazer primeiro 2\mathbf{v}_{1}-3\mathbf{v}_{2}:
2\mathbf{v}_{1}-3\mathbf{v}_{2} = \begin{pmatrix}8\\[4pt]-4\\[4pt]6\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}3\\[4pt]9\\[4pt]-6\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8-3\\[4pt]-4-9\\[4pt]6-(-6)\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5\\[4pt]-13\\[4pt]12\end{pmatrix}.]

Passo 10

Finalmente subtraímos \mathbf{v}_{3}=\begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} do resultado anterior:
2\mathbf{v}_{1}-3\mathbf{v}_{2}-\mathbf{v}_{3} = \begin{pmatrix}5\\[4pt]-13\\[4pt]12\end{pmatrix} - \begin{pmatrix}-3\\[4pt]1\\[4pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}5-(-3)\\[4pt]-13-1\\[4pt]12-0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}8\\[4pt]-14\\[4pt]12\end{pmatrix}.]

Resposta

\text{(a)}\\ \begin{pmatrix}5\\[4pt]-3\\[4pt]6\end{pmatrix}
\text{(b)}\\ \begin{pmatrix}8\\[4pt]-14\\[4pt]12\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados