tos) A equação abaixo se refere à energia livre ( G ), a qual prevê que, (1ª Questão) (\mathbf{3} pontos) quando uma reação química espontânea ocorre, parte desta energia liberada (reação exotérmica) se utilizada na reorganização do sistema (reorganização dos átomos). Essa energia depende da temperatura (T) e do nível de desorganização dos átomos, a entropia ( \Delta \mathrm{S}). Utilizando o sistema MLTO (Massa, Comprimento, Tempo e Temperatura), verifique se a fórmula da equação da Energia Livre (G) é dimensionalmente homogênea, analisando todos os termos da equação. \boldsymbol{G}=\boldsymbol{H}-\boldsymbol{T} \boldsymbol{S}

Dados:

H=U+P V
\Delta Q= m.c. \Delta T
\Delta U=W+Q\left(1^{\underline{\mathrm{a}}} \text { Lei da Termodinâmica }\right)â
Sendo: \mathrm{G}= energia livre; \mathrm{H}= entalpia; \mathrm{T}= temperatura; \mathrm{S}= entropia; \mathrm{U}= energia interna; \mathrm{P}= pressão; \mathrm{V}= volume; \mathrm{W}= trabalho; \mathrm{Q}= calor; \mathrm{m}= massa; \mathrm{c}= calor específico [\mathrm{J} / \mathrm{kg} . \mathrm{K}];

Passo 1

O que o problema pede: verificar se a fórmula da energia livre
G = H - T S
é dimensionalmente homogênea no sistema de grandezas básicas (massa, comprimento, tempo e temperatura).
Informações dadas (vou listar explicitamente tudo que o enunciado trouxe):
H = U + P\,V
\Delta Q = m\,c\,\Delta T
\Delta U = W + Q \quad(\text{1ª Lei da Termodinâmica})ªâ
Sendo: G energia livre; H entalpia; T temperatura; S entropia; U energia interna; P pressão; V volume; W trabalho; Q calor; m massa; c calor específico [\mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}].

Passo 2

Breve explicação do método que vamos aplicar (análise dimensional) — sem pânico, é só mexer com expoentes:
  • Dimensionalmente homogêneo significa que todos os termos somados ou subtraídos têm exatamente as mesmas dimensões fundamentais.
  • Vou trabalhar com as grandezas fundamentais e seus símbolos: massa \;M\;, comprimento \;L\;, tempo \;t\; e temperatura \;\Theta\;.
  • A estratégia: expressar a dimensão de energia em termos de M,L,t, achar as dimensões de H, de T S e comparar. Também verifico as igualdades auxiliares dadas ( H=U+PV, Q=m c \Delta T, \Delta U=W+Q) para confirmar coerência.

Passo 3

Dimensão da energia (base para quase tudo aqui):
  • Força tem dimensão massa × aceleração. Aceleração é \text{comprimento}/\text{tempo}^2, logo força [F]=M L t^{-2}.
  • Energia (ou trabalho) é força × comprimento, portanto
[E]=[{\rm energia}]=[F]\cdot L = M L^2 t^{-2}.
Vou usar essa expressão sempre que apontar “energia”.

Passo 4

Dimensão de U, H e G:
  • U é energia interna, logo
[U]=M L^2 t^{-2}.
  • Volume V tem dimensão L^3. Pressão P é força por área, então
[P]=\frac{[F]}{L^2}=\frac{M L t^{-2}}{L^2}=M L^{-1} t^{-2}.
  • Produto P\,V tem dimensão
[P V]=\big(M L^{-1} t^{-2}\big)\cdot L^3 = M L^2 t^{-2},
ou seja, também energia. Pelo dado H=U+P V concluímos que H tem dimensão de energia:
[H]=M L^2 t^{-2}.
  • Como G é diferença envolvendo H, para que G faça sentido dimensionalmente, o outro termo subtraído deve ter a mesma dimensão de H. Vamos checar T S.

Passo 5

Dimensão da entropia \,S e de T S:
  • Entropia tem unidades de energia por temperatura (J/K), então dimensionalmente
[S]=\frac{[E]}{[\text{temperatura}]}=\frac{M L^2 t^{-2}}{\Theta}=M L^2 t^{-2}\Theta^{-1}.
  • A temperatura T aparece multiplicando S. A dimensão de T é \Theta. Portanto
[T S]=[\Theta]\cdot\big(M L^2 t^{-2}\Theta^{-1}\big)=M L^2 t^{-2}.
Ou seja, T S tem a mesma dimensão de energia.

Passo 6

Verificação das relações auxiliares dadas (mostrando coerência geral):
  • Calor pela expressão dada: \Delta Q = m c \Delta T. Dimensão de c (calor específico) é [\mathrm{J}/\mathrm{kg}\cdot\mathrm{K}], logo
[c]=\frac{[E]}{M\,\Theta}=\frac{M L^2 t^{-2}}{M\Theta}=L^2 t^{-2}\Theta^{-1}.
Multiplicando m por c por \Delta T obtemos
[m c \Delta T]=M\cdot\big(L^2 t^{-2}\Theta^{-1}\big)\cdot\Theta = M L^2 t^{-2},
ou seja, \Delta Q tem dimensão de energia, consistente com \Delta U=W+Q.
  • Trabalho W (força × deslocamento) tem dimensão de energia, logo [W]=M L^2 t^{-2}. Assim \Delta U=W+Q é homogênea. Tudo coerente.

Passo 7

Conclusão detalhada (passo-a-passo final da verificação):
  • Encontramos [H]=M L^2 t^{-2}.
  • Encontramos [T S]=M L^2 t^{-2}.
  • Portanto os dois termos em G=H-TS têm a mesma dimensão e a subtração é válida do ponto de vista dimensional. Logo a equação é dimensionalmente homogênea. Também verifiquei as relações auxiliares ( H=U+PV, \Delta Q=m c\Delta T, \Delta U=W+Q) e todas são coerentes com as dimensões de energia que usamos.

Resposta

Sim. A equação é dimensionalmente homogênea; todos os termos têm dimensão \;M L^2 t^{-2}\;.

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