Um feixe de luz monocromática com comprimento de onda lambda=600 nm incide sobre uma fenda dupla com separação entre as fendas de d=0,25 mm e largura de cada fenda a=0,05 mm. O padrão de interferência e difração é projetado em um anteparo a uma distância D=2,0 m das fendas.
Determine a posição angular dos mínimos da envoltória de difração.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre interferência e difração da luz passando por duas fendas. O que a gente precisa descobrir são as posições angulares onde aparecem os mínimos na envoltória de difração. Pra resolver isso, vamos usar a teoria da difração de uma única fenda, que nos ajuda a encontrar esses pontos de mínimo.

Passo 2

Primeiro, é importante lembrar qual é a condição para que ocorram esses mínimos na difração. A fórmula que a gente usa é:
a cdot sin(theta) = m cdot lambda
Aqui:
  • $ a $ é a largura de cada fenda,
  • $ \theta $ é o ângulo onde ocorre o mínimo,
  • $ m $ é um número inteiro que representa a ordem do mínimo (1, 2, 3, …),
  • $ \lambda $ é o comprimento de onda da luz.

Passo 3

Vamos substituir os valores que a gente tem na fórmula. Primeiro, precisamos converter todas as unidades para serem consistentes. A largura da fenda $ a = 0,05 , mm = 0,05 \times 10^{-3} , m $ e o comprimento de onda $ \lambda = 600 , nm = 600 \times 10^{-9} , m $.
Então, a equação fica:
a = 0,05 , mm = 0,05 times 10^-3 , m

Passo 4

Agora, vamos isolar o seno do ângulo $ \theta $:
theta
Simplificando:
sin(theta) = m cdot 600 times 10^-90,05 times 10^-3
sin(theta) = m cdot 600 times 10^-95 times 10^-5 = m cdot 6005 times 10^-4

Passo 5

Agora, para encontrar $ \theta $, a gente precisa tirar o arco seno de $ 0,012 \times m $. Mas lembre-se que o seno só pode ter valores entre -1 e 1, então o valor de $ m $ deve ser tal que $ 0,012 \times m \leq 1 $.
Vamos calcular para os principais valores de $ m $:
Para $ m = 1 $:
theta
0,012 times m
Para $ m = 2 $:
m
0,012 times m <= 1
Para $ m = 3 $:
m
m = 1
E assim por diante, até que $ m \cdot 0,012 $ se aproxime de 1.

Resposta

As posições angulares dos mínimos da envoltória de difração estão aproximadamente em $ 0,687^\circ $, $ 1,376^\circ $, $ 2,063^\circ $, etc., correspondentes aos valores de $ m = 1, 2, 3 $, respectivamente.

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