Um feixe de luz monocromática com comprimento de onda lambda=650 nm incide perpendicularmente sobre uma fenda única de largura a=0,1 mm. Um anteparo está posicionado a uma distância D=2 m da fenda.
Demonstre que a intensidade relativa 1 / Im no primeiro mínimo é 0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema fala sobre a difração da luz passando por uma fenda única. Temos uma luz monocromática com comprimento de onda lambda = 650,nm incidindo perpendicularmente em uma fenda de largura a = 0,1,mm. A tela onde observamos o padrão de difração está a uma distância D = 2,m da fenda. Nosso objetivo é mostrar que a intensidade relativa 1 / Im no primeiro mínimo é igual a zero. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre a teoria da difração em fendas simples e usar algumas fórmulas básicas dessa teoria.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como funciona a difração em uma única fenda. Quando a luz passa por uma fenda estreita, ela se espalha e forma um padrão de interferência na tela. Esse padrão tem um máximo central brilhante e minimações onde a intensidade da luz é menor. As posições desses mínimos podem ser calculadas usando a fórmula:
a sin theta = n lambda
onde:
  • a é a largura da fenda,
  • theta é o ângulo em relação ao eixo central,
  • n é um número inteiro positivo (1, 2, 3, …),
  • lambda é o comprimento de onda da luz.
No nosso caso, queremos encontrar a intensidade no primeiro mínimo, ou seja, quando n = 1.

Passo 3

Agora, vamos calcular o ângulo theta correspondente ao primeiro mínimo usando a fórmula acima. Substituindo os valores que temos:
a = 0,1,mm = 0,1 times 10^-3,m
lambda = 650,nm = 650 times 10^-9,m
n = 1
Então,
0,1 times 10^-3,m times sin theta = 1 times 650 times 10^-9,m
sin theta = 650 times 10^-90,1 times 10^-3 = 0,0065
Porém, como theta é pequeno, podemos usar a aproximação sin theta approx tan theta = xD, onde x é a posição do mínimo na tela e D é a distância da fenda à tela.

Passo 4

Vamos encontrar a posição x do primeiro mínimo usando a aproximação mencionada:
tan theta approx sin theta = 0,0065 = x2
x = 2 times 0,0065 = 0,013,m = 1,3,cm
Então, o primeiro mínimo ocorre a aproximadamente 1,3,cm do centro.

Passo 5

Agora, vamos analisar a intensidade da luz nesse ponto. A intensidade na posição theta é dada por:
I(theta) = I0 ( sin betabeta )^2
onde beta = pi a sin thetalambda. No primeiro mínimo, beta = pi, então:
I(theta) = I0 ( sin pipi )^2 = I0 ( 0pi )^2 = 0

Resposta

Portanto, a intensidade relativa 1 / Im no primeiro mínimo é 0.

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