4- Luz monocromática de um laser hélio-neônio (
) incide normalmente em uma rede de difração de 6000 ranhuras por centímetro. (a) Ache o ângulo de difração em que o primeiro e segundo máximo são observados. (b) As duas componentes do espectro visível do sódio atômico tem comprimento de onda de
e
. Verifique se essa grade tem resolução suficiente para separar essas duas linha espectrais, determinando o numero mínimo necessário em terceira ordem de difração.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
- Comprimento de onda do laser hélio-neônio:
. - Densidade da grade:
ranhuras por centímetro (ou seja, ).
O que o enunciado pede:
(a) Ache o ângulo de difração em que o primeiro e o segundo máximo (ordens e
) são observados para a luz de
.
(b) Para as duas linhas do sódio com comprimentos de onda e
: verificar se a grade tem resolução suficiente para separar essas linhas na terceira ordem (
), determinando o número mínimo de ranhuras necessárias. (Vou também calcular a largura mínima iluminada correspondente, usando a densidade dada.)
(a) Ache o ângulo de difração em que o primeiro e o segundo máximo (ordens
(b) Para as duas linhas do sódio com comprimentos de onda
Passo 2
Fórmula básica da grade de difração e definição das variáveis (aula rápida e prática).
- A condição de máximos para uma grade é dada por
onde:
-
é o espaçamento entre ranhuras (distância ranhura-a-ranhura), em metros; -
é o ângulo de difração medido a partir da normal; -
é a ordem do máximo (inteiro: ); -
é o comprimento de onda, em metros.
Como obter
a partir da densidade de ranhuras:
- A grade tem
ranhuras por centímetro. Convertemos para ranhuras por metro:
- Portanto
Comentário curto: a equação
é simples de aplicar: para conhecida
e
, calcula-se
e daí o ângulo
.
Passo 3
Calcular o ângulo do primeiro máximo (
) para
.
Primeiro computo
:
Agora a conta (passo a passo):
- Dividindo os fatores numéricos:
Logo
Agora o ângulo:
Explicação didática rápida: sempre verifique que
. Aqui está bem menor que 1, então existe o máximo de primeira ordem.
Passo 4
Calcular o ângulo do segundo máximo (
) para
.
Novamente computo
:
Logo
E o ângulo:
Comentário: como
, o segundo máximo existe; para ordens maiores seria necessário checar se
.
Passo 5
Agora a parte de resolução espectral (separa as duas linhas do sódio). Conceito e fórmula:
- A resolução teórica de uma grade é
onde:
-
é a razão necessária para distinguir dois comprimentos de onda separados por ; -
é a ordem de difração usada; -
é o número de ranhuras iluminadas (ou efetivamente que contribuem para a formação do máximo).
Para separar duas linhas com
precisamos ter
Isolando
,
Passo 6
Aplicar a fórmula para as linhas de sódio na terceira ordem (
).
Dados das linhas (do enunciado):
-
, -
.
Separação:
Para
no numerador usamos o valor médio (boa prática para resolução):
Agora computo
:
Como
deve ser inteiro e devemos garantir separação, tomamos o próximo inteiro maior:
Passo 7
Calcular a largura mínima iluminada correspondente a
, usando a densidade da grade.
A grade tem
ranhuras por centímetro, isto é
. A largura
necessária para iluminar
ranhuras é
Substituindo
:
Interpretação prática e conclusão: basta iluminar cerca de
(menos de
) da grade para obter
ranhuras — um valor muito pequeno. Portanto é muito fácil, na prática, obter essa quantidade de ranhuras iluminadas numa grade comum: mesmo uma faixa de meio milímetro já é suficiente. Logo, a grade com
ranhuras/cm tem resolução suficiente para separar as duas linhas do sódio na terceira ordem.
Resposta
(a)
e
(b)
ranhuras iluminadas (em
). Largura mínima iluminada correspondente
. Portanto a grade tem resolução suficiente.