4- Luz monocromática de um laser hélio-neônio ( 632.8 ~ n m ) incide normalmente em uma rede de difração de 6000 ranhuras por centímetro. (a) Ache o ângulo de difração em que o primeiro e segundo máximo são observados. (b) As duas componentes do espectro visível do sódio atômico tem comprimento de onda de 589.00 n m e 589.59 n m. Verifique se essa grade tem resolução suficiente para separar essas duas linha espectrais, determinando o numero mínimo necessário em terceira ordem de difração.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Comprimento de onda do laser hélio-neônio: \lambda = 632{,}8\times10^{-9}\\ \text{m}.
  • Densidade da grade: 6000 ranhuras por centímetro (ou seja, 6000\\ \text{ranhuras/cm}).
O que o enunciado pede:
(a) Ache o ângulo de difração em que o primeiro e o segundo máximo (ordens m=1 e m=2) são observados para a luz de \lambda=632{,}8\\ \text{nm}.
(b) Para as duas linhas do sódio com comprimentos de onda \lambda_1=589{,}00\\ \text{nm} e \lambda_2=589{,}59\\ \text{nm}: verificar se a grade tem resolução suficiente para separar essas linhas na terceira ordem ( m=3), determinando o número mínimo de ranhuras necessárias. (Vou também calcular a largura mínima iluminada correspondente, usando a densidade dada.)

Passo 2

Fórmula básica da grade de difração e definição das variáveis (aula rápida e prática).
  • A condição de máximos para uma grade é dada por
d\,\sin\theta = m\,\lambda,
onde:
  • d é o espaçamento entre ranhuras (distância ranhura-a-ranhura), em metros;
  • \theta é o ângulo de difração medido a partir da normal;
  • m é a ordem do máximo (inteiro: 0,\pm1,\pm2,\dots);
  • \lambda é o comprimento de onda, em metros.
Como obter d a partir da densidade de ranhuras:
  • A grade tem 6000 ranhuras por centímetro. Convertemos para ranhuras por metro:
6000\\ \text{ranhuras/cm} = 6000\times100 = 600000\\ \text{ranhuras/m}.
  • Portanto
d = \frac{1}{600000} = 1{,}6666667\times10^{-6}\\ \text{m} = 1{,}6667\\ \mu\text{m}.
Comentário curto: a equação d\sin\theta=m\lambda é simples de aplicar: para conhecida d e \lambda, calcula-se \sin\theta e daí o ângulo \theta.

Passo 3

Calcular o ângulo do primeiro máximo ( m=1) para \lambda=632{,}8\\ \text{nm}.
Primeiro computo \sin\theta_1:
\sin\theta_1 = \frac{1\cdot\lambda}{d} = \frac{632{,}8\times10^{-9}}{1{,}6666667\times10^{-6}}.
Agora a conta (passo a passo):
  • Dividindo os fatores numéricos:
\frac{632{,}8\times10^{-9}}{1{,}6666667\times10^{-6}} = \frac{632{,}8}{1{,}6666667}\times10^{-9+6} = 379{,}68\times10^{-3} = 0{,}37968.
Logo
\sin\theta_1 = 0{,}37968.
Agora o ângulo:
\theta_1 = \arcsin(0{,}37968) \approx 22{,}33^\circ.
Explicação didática rápida: sempre verifique que \sin\theta\le1. Aqui está bem menor que 1, então existe o máximo de primeira ordem.

Passo 4

Calcular o ângulo do segundo máximo ( m=2) para \lambda=632{,}8\\ \text{nm}.
Novamente computo \sin\theta_2:
\sin\theta_2 = \frac{2\cdot\lambda}{d} = 2\times0{,}37968 = 0{,}75936.
Logo
\sin\theta_2 = 0{,}75936.
E o ângulo:
\theta_2 = \arcsin(0{,}75936) \approx 49{,}36^\circ.
Comentário: como \sin\theta_2<1, o segundo máximo existe; para ordens maiores seria necessário checar se m\lambda/d\le1.

Passo 5

Agora a parte de resolução espectral (separa as duas linhas do sódio). Conceito e fórmula:
  • A resolução teórica de uma grade é
R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=m\,N,
onde:
  • R é a razão \lambda/\Delta\lambda necessária para distinguir dois comprimentos de onda separados por \Delta\lambda;
  • m é a ordem de difração usada;
  • N é o número de ranhuras iluminadas (ou efetivamente que contribuem para a formação do máximo).
Para separar duas linhas com \Delta\lambda precisamos ter
m\,N \ge \frac{\lambda}{\Delta\lambda}.
Isolando N,
N \ge \frac{\lambda}{m\,\Delta\lambda}.

Passo 6

Aplicar a fórmula para as linhas de sódio na terceira ordem ( m=3).
Dados das linhas (do enunciado):
  • \lambda_1 = 589{,}00\\ \text{nm},
  • \lambda_2 = 589{,}59\\ \text{nm}.
Separação:
\Delta\lambda = \lambda_2-\lambda_1 = 0{,}59\\ \text{nm} = 0{,}59\times10^{-9}\\ \text{m}.
Para \lambda no numerador usamos o valor médio (boa prática para resolução):
\lambda_{\text{média}} = \frac{589{,}00+589{,}59}{2} = 589{,}295\\ \text{nm} = 589{,}295\times10^{-9}\\ \text{m}.é
Agora computo N_{\min}:
N_{\min} = \frac{\lambda_{\text{média}}}{m\,\Delta\lambda} = \frac{589{,}295\times10^{-9}}{3\times0{,}59\times10^{-9}} = \frac{589{,}295}{1{,}77}\approx 333{,}0.é
Como N deve ser inteiro e devemos garantir separação, tomamos o próximo inteiro maior:
N_{\min}=334\\ \text{ranhuras iluminadas}.

Passo 7

Calcular a largura mínima iluminada correspondente a N_{\min}, usando a densidade da grade.
A grade tem 6000 ranhuras por centímetro, isto é 6000\\ \text{ranhuras/cm}. A largura L necessária para iluminar N_{\min} ranhuras é
L = \frac{N_{\min}}{6000}\\ \text{cm}.
Substituindo N_{\min}=334:
L = \frac{334}{6000}\\ \text{cm} = 0{,}0556667\\ \text{cm} = 0{,}556667\\ \text{mm}.
Interpretação prática e conclusão: basta iluminar cerca de 0{,}056\\ \text{cm} (menos de 0{,}6\\ \text{mm}) da grade para obter 334 ranhuras — um valor muito pequeno. Portanto é muito fácil, na prática, obter essa quantidade de ranhuras iluminadas numa grade comum: mesmo uma faixa de meio milímetro já é suficiente. Logo, a grade com 6000 ranhuras/cm tem resolução suficiente para separar as duas linhas do sódio na terceira ordem.

Resposta

(a) \theta_{1}\approx22{,}33^\circ e \theta_{2}\approx49{,}36^\circ
(b) N_{\min}=334 ranhuras iluminadas (em m=3). Largura mínima iluminada correspondente L\approx0{,}0557\\ \text{cm}=0{,}5567\\ \text{mm}. Portanto a grade tem resolução suficiente.

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