Um feixe de luz monocromática incide em uma interface plana com ângulo de incidência de 30 graus e passa para o próximo meio com ângulo de refraçāo de 45 graus. Um dos meios tem índice de refração de 1,2 . Determine o índice de refração do outro meio.

Passo 1

Dados do enunciado:
\theta_{\text{incidência}} = 30^\circ,\qquad \theta_{\text{refração}} = 45^\circêçã
Um dos meios tem índice de refração igual a
1,2.
O que o problema pede:
Determinar o índice de refração do outro meio (ou seja, dado que um dos índices é 1,2, encontrar o índice do segundo meio). Note que o enunciado não diz se 1,2 é o índice do meio incidente ou do meio refratado, portanto teremos que considerar as duas possibilidades.

Passo 2

Apresentação da lei que vamos usar (sem resolver ainda).
A relação que liga os índices de refração e os ângulos é a lei de Snell:
n_1\sin\theta_1 = n_2\sin\theta_2.
Explicando cada símbolo de forma bem clara:
n_1
é o índice de refração do meio onde o raio está antes de atravessar a superfície (meio de incidência),
\theta_1
é o ângulo de incidência medido em relação à normal,
n_2
é o índice de refração do meio depois da superfície (meio refratado),
\theta_2
é o ângulo de refração medido em relação à normal.
Aqui já sabemos numericamente:
\theta_1 = 30^\circ,\qquad \theta_2 = 45^\circ.

Passo 3

Como isolar o índice desconhecido da lei de Snell.
Se quisermos encontrar n_2 conhecendo n_1, isolamos:
n_2 = n_1\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}.
Se quisermos encontrar n_1 conhecendo n_2, isolamos:
n_1 = n_2\frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}.
Agora vamos aplicar essas fórmulas usando os valores exatos das funções seno para 30^\circ e 45^\circ.

Passo 4

Valores exatos dos senos (lembrete matemático simples e útil na prova):
\sin 30^\circ = \tfrac{1}{2},\qquad \sin 45^\circ = \tfrac{\sqrt{2}}{2}.
Vamos usar esses valores nas fórmulas do passo anterior.

Passo 5

Caso A — supondo que o índice conhecido 1,2 seja do meio de incidência (ou seja, n_1 = 1,2). Calculamos n_2 com:
n_2 = n_1\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2}.
Substituindo:
n_2 = 1,2\cdot\frac{\sin 30^\circ}{\sin 45^\circ} = 1,2\cdot\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}.
Simplificando a fração:
\frac{\tfrac{1}{2}}{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}.
Portanto
n_2 = 1,2\cdot\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1{,}2}{\sqrt{2}}.
Podemos escrever de forma alternativa, racionalizando:
n_2 = \frac{1{,}2\sqrt{2}}{2} = 0{,}6\sqrt{2}.
Valor numérico aproximado (útil na prova para comparar):
n_2 \approx 0{,}848528.
Curiosidade/observação: esse valor é menor que 1, o que é incomum para meios ópticos com luz visível (ar tem n\approx1). Isso indica que, se o índice de 1,2 fosse do meio de incidência, o outro meio teria índice menor que 1 (possível em contextos especiais, mas incomum em problemas de óptica clássica). Guarde isso como verificação de plausibilidade.

Passo 6

Caso B — supondo que o índice conhecido 1,2 seja do meio refratado (ou seja, n_2 = 1,2). Calculamos n_1 com:
n_1 = n_2\frac{\sin\theta_2}{\sin\theta_1}.
Substituindo:
n_1 = 1,2\cdot\frac{\sin 45^\circ}{\sin 30^\circ} = 1,2\cdot\frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{1}{2}}.
Simplificando a fração:
\frac{\tfrac{\sqrt{2}}{2}}{\tfrac{1}{2}}=\sqrt{2}.
Portanto
n_1 = 1,2\sqrt{2}.
Valor numérico aproximado:
n_1 \approx 1{,}697056.
Observação de plausibilidade: este valor é maior que 1 e portanto mais típico para um meio transparente (por exemplo, alguns vidros têm índices nessa faixa). Isso sugere que, em muitos contextos práticos, é mais plausível que 1,2 seja o índice do meio refratado e o índice do meio de incidência seja aproximadamente 1{,}697.

Passo 7

Resumo interpretativo e dica para a prova:
  • Use sempre a lei de Snell e os senos exatos para ângulos comuns ( 30^\circ,45^\circ,60^\circ) para obter resultados exatos e rápidos sem calculadora.
  • Se o problema não especifica qual meio tem o índice fornecido, compute os dois cenários e verifique qual resultado faz mais sentido fisicamente (por exemplo, índice menor que 1 é raríssimo para luz visível).
  • Anote tanto a forma exata quanto a aproximação numérica; em provas costumam aceitar ambas.

Resposta

Se n_1=1{,}2 (meio de incidência) então n_2 = 0{,}6\sqrt{2} \approx 0{,}848528.
Se n_2=1{,}2 (meio refratado) então n_1 = 1{,}2\sqrt{2} \approx 1{,}697056.

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