Um feixe de luz monocromática incide em uma interface plana com ângulo de incidência de 30 graus e passa para o próximo meio com ângulo de refraçāo de 45 graus. Um dos meios tem índice de refração de 1,2 . Determine o índice de refração do outro meio.
Passo 1
Dados do enunciado:
Um dos meios tem índice de refração igual a
O que o problema pede:
Determinar o índice de refração do outro meio (ou seja, dado que um dos índices é , encontrar o índice do segundo meio). Note que o enunciado não diz se
é o índice do meio incidente ou do meio refratado, portanto teremos que considerar as duas possibilidades.
Determinar o índice de refração do outro meio (ou seja, dado que um dos índices é
Passo 2
Apresentação da lei que vamos usar (sem resolver ainda).
A relação que liga os índices de refração e os ângulos é a lei de Snell:
A relação que liga os índices de refração e os ângulos é a lei de Snell:
Explicando cada símbolo de forma bem clara:
é o índice de refração do meio onde o raio está antes de atravessar a superfície (meio de incidência),
é o ângulo de incidência medido em relação à normal,
é o índice de refração do meio depois da superfície (meio refratado),
é o ângulo de refração medido em relação à normal.
Aqui já sabemos numericamente:
Aqui já sabemos numericamente:
Passo 3
Como isolar o índice desconhecido da lei de Snell.
Se quisermos encontrar conhecendo
, isolamos:
Se quisermos encontrar
Se quisermos encontrar
conhecendo
, isolamos:
Agora vamos aplicar essas fórmulas usando os valores exatos das funções seno para
e
.
Passo 4
Valores exatos dos senos (lembrete matemático simples e útil na prova):
Vamos usar esses valores nas fórmulas do passo anterior.
Passo 5
Caso A — supondo que o índice conhecido
seja do meio de incidência (ou seja,
). Calculamos
com:
Substituindo:
Simplificando a fração:
Portanto
Podemos escrever de forma alternativa, racionalizando:
Valor numérico aproximado (útil na prova para comparar):
Curiosidade/observação: esse valor é menor que
, o que é incomum para meios ópticos com luz visível (ar tem
). Isso indica que, se o índice de
fosse do meio de incidência, o outro meio teria índice menor que
(possível em contextos especiais, mas incomum em problemas de óptica clássica). Guarde isso como verificação de plausibilidade.
Passo 6
Caso B — supondo que o índice conhecido
seja do meio refratado (ou seja,
). Calculamos
com:
Substituindo:
Simplificando a fração:
Portanto
Valor numérico aproximado:
Observação de plausibilidade: este valor é maior que
e portanto mais típico para um meio transparente (por exemplo, alguns vidros têm índices nessa faixa). Isso sugere que, em muitos contextos práticos, é mais plausível que
seja o índice do meio refratado e o índice do meio de incidência seja aproximadamente
.
Passo 7
Resumo interpretativo e dica para a prova:
- Use sempre a lei de Snell e os senos exatos para ângulos comuns (
) para obter resultados exatos e rápidos sem calculadora. - Se o problema não especifica qual meio tem o índice fornecido, compute os dois cenários e verifique qual resultado faz mais sentido fisicamente (por exemplo, índice menor que
é raríssimo para luz visível). - Anote tanto a forma exata quanto a aproximação numérica; em provas costumam aceitar ambas.
Resposta
Se
(meio de incidência) então
.
Se (meio refratado) então
.
Se