Uma bobina circular de 50 espiras e 15 cm de raio, com uma resistência total de 4,0 \Omega, é submetida a um campo magnético uniforme perpendicular ao plano da espira. O módulo do campo varia com o tempo de acordo com a equação B=A \operatorname{sen}(\omega t), onde A=80 \mu \mathrm{~T} e \omega=50 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Qual é o módulo da corrente induzida na bobina em t=20 \mathrm{~ms} ? (ref. Exercício 104 - Cap. 30-8^{a} ed)
Passo 1
Resumo do enunciado e dados fornecidos. O que é pedido.
\text{queremos o módulo da corrente induzida em }t=20\\ \mathrm{ms}=0{,}02\\ \mathrm{s}.
O enunciado pede o módulo (valor absoluto) da corrente induzida nessa bobina num instante específico.
Passo 2
Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática).
Faraday-Lenz (lei de indução): a força eletromotriz induzida na bobina é igual ao negativo da taxa de variação do fluxo magnético total:
\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt},
onde \Phi é o fluxo magnético total através de todas as espiras. Para uma bobina de N espiras, o fluxo total é
\Phi = N\varphi,
onde \varphi é o fluxo por espira. O fluxo por espira, quando o campo é perpendicular ao plano da espira, é
\varphi = B\cdot A_{\text{espira}},
sendo A_{\text{espira}} a área da espira. A corrente induzida tem módulo dado por
I=\frac{|\mathcal{E}|}{R}.
Explicando as variáveis:
\mathcal{E} é a fem induzida (em volts),
\Phi é o fluxo magnético total (em weber, Wb),
B é o campo magnético (em tesla, T),
A_{\text{espira}} é a área de uma espira (em m^2),
R é a resistência total (em ohm, \Omega).
Passo 3
Calcular a área de uma espira e escrever a expressão do fluxo total.
A área de uma espira circular é
Explicando: usamos a regra da cadeia ao derivar \sin(\omega t); a derivada é \omega\cos(\omega t). O sinal menos da lei de Faraday só indica direção (Lenz); como queremos o módulo, tomamos o valor absoluto.
Passo 5
Avaliar o fator |\cos(\omega t)| no instante pedido t=0{,}02\\ \mathrm{s}.
Calculemos \omega t:
Interpretação final e checagem rápida: o valor faz sentido dimensionalmente (volts dividido por ohms dá ampère) e a ordem de grandeza é miliampères, compatível com campo pequeno (80\\ \mu\mathrm{T}) e bobina moderada. Lembre-se que pediram o módulo, portanto damos o valor positivo.