Uma bobina circular de 50 espiras e 15 cm de raio, com uma resistência total de 4,0 \Omega, é submetida a um campo magnético uniforme perpendicular ao plano da espira. O módulo do campo varia com o tempo de acordo com a equação B=A \operatorname{sen}(\omega t), onde A=80 \mu \mathrm{~T} e \omega=50 \pi \mathrm{rad} / \mathrm{s}. Qual é o módulo da corrente induzida na bobina em t=20 \mathrm{~ms} ? (ref. Exercício 104 - Cap. 30-8^{a} ed)

Passo 1

Resumo do enunciado e dados fornecidos. O que é pedido.
\text{Temos: }N=50,\quad r=15\\ \text{cm}=0{,}15\\ \mathrm{m},\quad R=4{,}0\\ \Omega,
B(t)=A\sin(\omega t),\quad A=80\\ \mu\mathrm{T}=80\times10^{-6}\\ \mathrm{T},\quad \omega=50\pi\\ \mathrm{rad/s},
\text{queremos o módulo da corrente induzida em }t=20\\ \mathrm{ms}=0{,}02\\ \mathrm{s}.ó
O enunciado pede o módulo (valor absoluto) da corrente induzida nessa bobina num instante específico.

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma didática).
Faraday-Lenz (lei de indução): a força eletromotriz induzida na bobina é igual ao negativo da taxa de variação do fluxo magnético total:
\mathcal{E} = -\frac{d\Phi}{dt},
onde \Phi é o fluxo magnético total através de todas as espiras. Para uma bobina de N espiras, o fluxo total é
\Phi = N\varphi,
onde \varphi é o fluxo por espira. O fluxo por espira, quando o campo é perpendicular ao plano da espira, é
\varphi = B\cdot A_{\text{espira}},
sendo A_{\text{espira}} a área da espira. A corrente induzida tem módulo dado por
I=\frac{|\mathcal{E}|}{R}.
Explicando as variáveis:
  • \mathcal{E} é a fem induzida (em volts),
  • \Phi é o fluxo magnético total (em weber, Wb),
  • B é o campo magnético (em tesla, T),
  • A_{\text{espira}} é a área de uma espira (em m^2),
  • R é a resistência total (em ohm, \Omega).

Passo 3

Calcular a área de uma espira e escrever a expressão do fluxo total.
A área de uma espira circular é
A_{\text{espira}}=\pi r^{2}=\pi(0{,}15)^{2}=\pi\cdot0{,}0225.
Logo o fluxo total é
\Phi(t)=N\cdot B(t)\cdot A_{\text{espira}}=N\cdot\bigl(A\sin(\omega t)\bigr)\cdot\bigl(\pi r^{2}\bigr).

Passo 4

Derivar o fluxo para obter a fem induzida (usar derivada de seno).
Derivando \Phi(t) em relação a t:
\frac{d\Phi}{dt}=N\cdot A\cdot\pi r^{2}\cdot\frac{d}{dt}\bigl(\sin(\omega t)\bigr) = N\cdot A\cdot\pi r^{2}\cdot \omega\cos(\omega t).
Portanto a fem (módulo) é
|\mathcal{E}| = \left| -\frac{d\Phi}{dt}\right| = N\cdot A\cdot\pi r^{2}\cdot \omega\;|\cos(\omega t)|.
Explicando: usamos a regra da cadeia ao derivar \sin(\omega t); a derivada é \omega\cos(\omega t). O sinal menos da lei de Faraday só indica direção (Lenz); como queremos o módulo, tomamos o valor absoluto.

Passo 5

Avaliar o fator |\cos(\omega t)| no instante pedido t=0{,}02\\ \mathrm{s}.
Calculemos \omega t:
\omega t = (50\pi)\cdot 0{,}02 = 50\cdot0{,}02\cdot\pi = 1\cdot\pi = \pi.
Então
\cos(\omega t)=\cos(\pi) = -1\quad\Rightarrow\quad |\cos(\omega t)|=1.

Passo 6

Substituir os valores numéricos na expressão da fem (fazendo alguns passos algébricos para facilitar cálculo).
Usando |\cos(\omega t)|=1,
|\mathcal{E}| = N\cdot A\cdot\pi r^{2}\cdot \omega.
Substituindo r^{2}=0{,}15^{2}=0{,}0225 e agrupando:
|\mathcal{E}| = N\cdot\omega\cdot A\cdot\pi\cdot 0{,}0225.
Agora substituímos números:
N=50,\quad \omega=50\pi,\quad A=80\times10^{-6}.
Então
|\mathcal{E}| = 50\cdot(50\pi)\cdot(80\times10^{-6})\cdot\pi\cdot 0{,}0225.
Fatorando convenientemente:
|\mathcal{E}| = 2500\cdot\pi^{2}\cdot(0{,}0225\cdot80\times10^{-6}).
Calcule 0{,}0225\cdot80\times10^{-6}=1{,}8\times10^{-6}. Então
|\mathcal{E}| = 2500\cdot\pi^{2}\cdot 1{,}8\times10^{-6}=0{,}0045\cdot\pi^{2}\\ \text{(volts)}.
Como \pi^{2}\approx9{,}8696,
|\mathcal{E}|\approx 0{,}0045\cdot 9{,}8696 \approx 0{,}04441\\ \mathrm{V}.

Passo 7

Calcular a corrente induzida pelo divisor pela resistência.
Usando I=|\mathcal{E}|/R,
I=\frac{0{,}04441\\ \mathrm{V}}{4{,}0\\ \Omega}\approx 0{,}0111025\\ \mathrm{A}.
Convertendo para miliampères:
I\approx 11{,}10\\ \mathrm{mA}.

Passo 8

Interpretação final e checagem rápida: o valor faz sentido dimensionalmente (volts dividido por ohms dá ampère) e a ordem de grandeza é miliampères, compatível com campo pequeno ( 80\\ \mu\mathrm{T}) e bobina moderada. Lembre-se que pediram o módulo, portanto damos o valor positivo.

Resposta

I\approx0,0111\\ \mathrm{A} (ou 11{,}1\\ \mathrm{mA}).

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