Um raio de luz atravessando a água incide sobre uma interface com um pedaço de vidro plano. O comprimento de onda da luz na água é 726 nm e seu comprimento de onda no vidro é 544 nm . Se o raio na água forma um ângulo de 56^{\circ} \mathrm{com} a normal à interface, que ângulo o raio refratado no vidro forma com a normal?
\begin{aligned} & A n=\frac{A}{n} \quad A v=\frac{726}{1} \quad n m=726 \\\ & A n=\frac{1}{n} \quad A_{n}=\frac{544}{2}=n m=544 \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido e claro):
  • Comprimento de onda na água: \lambda_{\text{água}} = 726\\ \text{nm}á.
  • Comprimento de onda no vidro: \lambda_{\text{vidro}} = 544\\ \text{nm}.
  • Ângulo do raio na água com a normal: \theta_{\text{água}} = 56^\circá.
    O que se pede: encontrar o ângulo do raio refratado no vidro com a normal, ou seja \theta_{\text{vidro}}.

Passo 2

Princípios físicos úteis (explicados devagar):
  1. A frequência da luz não muda quando a luz passa de um meio para outro. Isso significa que a mesma onda tem a mesma frequência f nos dois meios.
  2. O comprimento de onda em um meio está relacionado ao índice de refração n e ao comprimento de onda no vácuo \lambda_0 por:
\lambda = \frac{\lambda_0}{n}.
Aqui \lambda é o comprimento de onda no meio, \lambda_0 é o comprimento de onda no vácuo e n é o índice do meio (número adimensional que diz o quanto a luz “anda mais devagar” no meio).
3) A lei de Snell (lei da refração) diz que, para a interface entre dois meios 1 e 2,
n_1 \sin\theta_1 = n_2 \sin\theta_2,
onde n_1 e n_2 são os índices e \theta_1 e \theta_2 os ângulos com a normal nos meios 1 e 2, respectivamente.

Passo 3

Como eliminar os índices usando os comprimentos de onda (passo-chave, explicado):
De \lambda = \lambda_0/n para os dois meios segue que
\frac{\lambda_1}{\lambda_2}=\frac{\lambda_0/n_1}{\lambda_0/n_2}=\frac{n_2}{n_1}.
Ou seja,
\frac{n_1}{n_2}=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}.
Substituindo isso na lei de Snell \,n_1\sin\theta_1=n_2\sin\theta_2, obtemos:
\sin\theta_2=\frac{n_1}{n_2}\sin\theta_1=\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\sin\theta_1.
Isto é ótimo porque podemos calcular \theta_2 apenas com os comprimentos de onda e \theta_1.

Passo 4

Aplicando aos dados do problema:
Aqui o meio 1 é a água e o meio 2 é o vidro. Então \lambda_1=\lambda_{\text{água}}=726\\ \text{nm}á e \lambda_2=\lambda_{\text{vidro}}=544\\ \text{nm}. A relação fica
\sin\theta_{\text{vidro}}=\frac{\lambda_{\text{vidro}}}{\lambda_{\text{água}}}\sin\theta_{\text{água}}.áá
Calcule a razão dos comprimentos de onda simplificando:
\frac{\lambda_{\text{vidro}}}{\lambda_{\text{água}}}=\frac{544}{726}=\frac{272}{363}\approx 0,7493.á

Passo 5

Calcule \sin\theta_{\text{água}}á e o produto:
Usando o valor de seno para 56^\circ,
\sin 56^\circ \approx 0,8290.
Portanto
\sin\theta_{\text{vidro}}\approx 0,7493\times 0,8290\approx 0,6212.

Passo 6

Encontrar o ângulo \theta_{\text{vidro}} a partir do seno:
Precisamos resolver \theta_{\text{vidro}}=\arcsin(0,6212). Sabendo que \sin 38^\circ\approx 0,6157 e \sin 38{,}5^\circ\approx 0,6235, fazemos uma interpolação rápida para achar:
\theta_{\text{vidro}}\approx 38{,}4^\circ.
(Isto significa que o raio refratado forma aproximadamente 38{,}4^\circ com a normal.)

Resposta

38{,}4^\circ

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