Um feixe de luz monocromático de intensidade 2 \mathrm{~mW} / \mathrm{cm} 2 incide perpendicularmente em uma superfície de um bloco espessura 0.01 cm e coeficiente de absorção 0,0003 / \mathrm{mm}. Calcule a intensidade transmitida através do bloco.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Intensidade incidente: I_0 = 2\\ \mathrm{mW/cm}^2.
  • Espessura do bloco: x = 0,01\\ \mathrm{cm}.
  • Coeficiente de absorção: \alpha = 0,0003\\ \mathrm{mm}^{-1} (isso vem no enunciado).
  • Pergunta: qual é a intensidade transmitida através do bloco (ou seja, a intensidade que sai do outro lado)?
Obs.: estou assumindo que não precisamos considerar reflexões nas superfícies nem espalhamento — só a absorção volumétrica dada por \alpha.

Passo 2

Precisamos trabalhar com as mesmas unidades para \alpha e x. O coeficiente foi dado em \mathrm{mm}^{-1} e a espessura em \mathrm{cm}. Convertemos \alpha para \mathrm{cm}^{-1}.
1 mm = 0,1 cm, então 1\\ \mathrm{mm}^{-1} = 10\\ \mathrm{cm}^{-1}. Portanto
\alpha = 0,0003\\ \mathrm{mm}^{-1} = 0,0003 \times 10\\ \mathrm{cm}^{-1} = 0,003\\ \mathrm{cm}^{-1}.

Passo 3

Agora a lei que relaciona intensidade e absorção é a lei exponencial (derivada do balanço diferencial de energia absorvida). Vou apresentar a dedução curta e explicar cada termo:
  • Suponha que ao atravessar uma fatia infinitesimal de espessura dx a intensidade sofra uma perda proporcional à intensidade local I(x) e à espessura dx. Isso se escreve
dI = -\alpha\, I(x)\, dx.
Aqui I(x) é a intensidade no ponto a uma distância x da face de entrada, e \alpha é o coeficiente de absorção com unidades de \mathrm{comprimento}^{-1}.
  • Essa é uma equação diferencial do tipo separável. Separando e integrando entre x=0 (onde I=I_0) e x (onde I=I(x)) obtemos
\int_{I_0}^{I(x)} \frac{dI}{I} = -\alpha \int_{0}^{x} dx.
  • Fazendo as integrais vem
\ln\!\left(\frac{I(x)}{I_0}\right) = -\alpha x,
logo, exponenciando,
\boxed{I(x)=I_0\,e^{-\alpha x}.}
Essa fórmula diz: intensidade transmitida decresce exponencialmente com a espessura, com velocidade determinada por \alpha.

Passo 4

Agora aplicamos os valores que temos. Já convertimos \alpha = 0,003\\ \mathrm{cm}^{-1} e x = 0,01\\ \mathrm{cm}. Substituindo na fórmula:
I = I_0\,e^{-\alpha x} = 2\\ \mathrm{mW/cm}^2 \times e^{-0,003\times0,01}.
Calcule o expoente:
-\alpha x = -0,003\times0,01 = -0,00003 = -3\times10^{-5}.
Como esse número é muito pequeno, podemos usar a boa aproximação e^{\varepsilon}\approx 1+\varepsilon para |\varepsilon|\ll1. Aqui \varepsilon=-3\times10^{-5}, então
e^{-3\times10^{-5}}\approx 1-3\times10^{-5}.
Logo
I \approx 2\\ \mathrm{mW/cm}^2 \times (1-3\times10^{-5}) = 2\\ \mathrm{mW/cm}^2 - 2\times3\times10^{-5}\\ \mathrm{mW/cm}^2.

Passo 5

Fazendo a conta numérica:
2\times3\times10^{-5} = 6\times10^{-5} = 0,00006,
então
I \approx 2 - 0,00006 = 1,99994\\ \mathrm{mW/cm}^2.
Se preferir a forma exata sem aproximação, é
I = 2\,e^{-0,00003}\\ \mathrm{mW/cm}^2,
que numericamente dá o mesmo 1,99994\\ \mathrm{mW/cm}^2 com as casas significativas mostradas.

Resposta

1,99994\\ \mathrm{mW/cm}^2

Exercícios relacionados