Um feixe monocromático com intensidade igual a 10 \mathrm{~W} / \mathrm{m} 2 incide perpendicularmente em um meio denso cujo coeficiente de absorção é 0,005 / \mathrm{m}. Qual deve ser a espessura do meio para que 90% da intensidade da onda incidente seja absorvida?

Passo 1

O enunciado pede a espessura do meio necessária para que 90% da intensidade da onda incidente seja absorvida. Informações dadas:
  • Intensidade incidente: \\ I_0 = 10\\ \mathrm{W}/\mathrm{m}^2.
  • Coeficiente de absorção do meio: \\ \alpha = 0,005\\ \mathrm{m}^{-1}.
  • Queremos que 90% da intensidade seja absorvida, ou seja, que a intensidade transmitida seja 10% da incidente.

Passo 2

Qual equação relaciona intensidade e espessura num meio absorvente?
Existe a lei do decaimento exponencial da intensidade por absorção (lei de Beer–Lambert na forma usada em óptica): a intensidade que atravessa uma espessura \\ x do meio é
I(x) = I_0\,e^{-\alpha x}.
Aqui:
  • \\ I(x) é a intensidade transmitida após percorrer espessura \\ x;
  • \\ I_0 é a intensidade inicial (antes de entrar no meio);
  • \\ \alpha é o coeficiente de absorção, com unidades \mathrm{m}^{-1};
  • \\ e é a base dos logaritmos naturais;
  • a expressão significa que a intensidade decai exponencialmente com a distância percorrida no meio.
Explicação curta do porquê: cada camada infinitesimal do meio absorve uma fração proporcional da intensidade que chega nela; isso gera a equação diferencial \\ dI/dx = -\alpha I cuja solução é \\ I(x)=I_0 e^{-\alpha x}. Não precisa decorar essa derivação na prova, basta saber que a relação é exponencial e entender o significado de \alpha.

Passo 3

Converter a condição “90% absorvida” para a equação: se 90% é absorvido, a fração transmitida é 0,10. Portanto queremos
\frac{I(x)}{I_0}=0,10.
Usando a lei exponencial,
0,10 = e^{-\alpha x}.

Passo 4

Resolver para \\ x. Tomamos o logaritmo natural dos dois lados (lembrando que \ln(e^y)=y):
\ln(0,10) = \ln\big(e^{-\alpha x}\big) = -\alpha x.
Isolando \\ x,
x = -\frac{\ln(0,10)}{\alpha}.
Comentário didático: o logaritmo natural \ln “desfaz” a exponenciação com base e. Como \ln(0,10) é negativo, o sinal menos torna x positivo, como deve ser.

Passo 5

Substituir os valores numéricos. Temos \\ \alpha = 0,005\\ \mathrm{m}^{-1} e \\ \ln(0,10) \approx -2,302585093. Portanto
x = -\frac{-2,302585093}{0,005} = \frac{2,302585093}{0,005}.
Calcule a divisão:
x \approx 460,5170186\\ \mathrm{m}.
Arredondando razoavelmente para a prática de prova, podemos usar uma ou duas casas decimais: \\ x \approx 460,5\\ \mathrm{m}.

Passo 6

Interpretação rápida: como o coeficiente de absorção é pequeno ( \alpha=0,005\\ \mathrm{m}^{-1}), precisa-se de uma espessura grande (centenas de metros) para absorver 90% da intensidade — isso faz sentido físico.

Resposta

x \approx 460,5\\ \mathrm{m}

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