Um feixe monocromático com intensidade igual a
incide perpendicularmente em um meio denso cujo coeficiente de absorção é
. Qual deve ser a espessura do meio para que 90% da intensidade da onda incidente seja absorvida?
Passo 1
O enunciado pede a espessura do meio necessária para que 90% da intensidade da onda incidente seja absorvida. Informações dadas:
- Intensidade incidente:
. - Coeficiente de absorção do meio:
. - Queremos que 90% da intensidade seja absorvida, ou seja, que a intensidade transmitida seja 10% da incidente.
Passo 2
Qual equação relaciona intensidade e espessura num meio absorvente?
Existe a lei do decaimento exponencial da intensidade por absorção (lei de Beer–Lambert na forma usada em óptica): a intensidade que atravessa uma espessura do meio é
Existe a lei do decaimento exponencial da intensidade por absorção (lei de Beer–Lambert na forma usada em óptica): a intensidade que atravessa uma espessura
Aqui:
-
é a intensidade transmitida após percorrer espessura ; -
é a intensidade inicial (antes de entrar no meio); -
é o coeficiente de absorção, com unidades ; -
é a base dos logaritmos naturais; - a expressão significa que a intensidade decai exponencialmente com a distância percorrida no meio.
Explicação curta do porquê: cada camada infinitesimal do meio absorve uma fração proporcional da intensidade que chega nela; isso gera a equação diferencial
cuja solução é
. Não precisa decorar essa derivação na prova, basta saber que a relação é exponencial e entender o significado de
.
Passo 3
Converter a condição “90% absorvida” para a equação: se 90% é absorvido, a fração transmitida é
. Portanto queremos
Usando a lei exponencial,
Passo 4
Resolver para
. Tomamos o logaritmo natural dos dois lados (lembrando que
):
Isolando
,
Comentário didático: o logaritmo natural
“desfaz” a exponenciação com base
. Como
é negativo, o sinal menos torna
positivo, como deve ser.
Passo 5
Substituir os valores numéricos. Temos
e
. Portanto
Calcule a divisão:
Arredondando razoavelmente para a prática de prova, podemos usar uma ou duas casas decimais:
.
Passo 6
Interpretação rápida: como o coeficiente de absorção é pequeno (
), precisa-se de uma espessura grande (centenas de metros) para absorver 90% da intensidade — isso faz sentido físico.