1. (UFRGS) Num jogo de bilhar um jogador lança a bola branca (bola 1) com velocidade \mathrm{v}_{1}=4 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em direção à bola preta (bola 2 ) que está parada ( \mathrm{v}_{2}=0 ). As bolas têm massas iguais e podem deslizar sem atrito sobre a mesa. Considerando-se que a colisão é perfeitamente elástica e frontal e que a velocidade inicial da bola branca é positiva, quais os valores das velocidades das bolas, após a colisão?

Passo 1

O enunciado dá um choque frontal perfeitamente elástico entre duas bolas de bilhar com massas iguais. As informações relevantes são:
\;v_{1}=4\\ \mathrm{m/s} (velocidade inicial da bola branca), \;v_{2}=0\\ \mathrm{m/s} (velocidade inicial da bola preta), massas iguais (vou chamar cada massa de m), colisão perfeitamente elástica e frontal, e a velocidade inicial da bola branca é positiva.
O que o problema pede: determinar as velocidades das duas bolas imediatamente após a colisão (ou seja, v_{1}' para a bola branca e v_{2}' para a bola preta).

Passo 2

Vamos usar duas leis de conservação que valem numa colisão perfeitamente elástica e sem forças externas na direção do movimento: conservação da quantidade de movimento (momento linear) e conservação da energia cinética. Vou escrever as fórmulas e explicar cada símbolo.
Conservação do momento linear:
m v_{1} + m v_{2} = m v_{1}' + m v_{2}'
onde m é a massa de cada bola, v_{1} e v_{2} são as velocidades iniciais, e v_{1}' e v_{2}' são as velocidades finais.
Conservação da energia cinética:
\tfrac{1}{2}m v_{1}^{2} + \tfrac{1}{2}m v_{2}^{2} = \tfrac{1}{2}m v_{1}'^{2} + \tfrac{1}{2}m v_{2}'^{2}
a energia cinética de cada bola é \tfrac{1}{2} m v^{2}. Nas equações, todos os símbolos já estão definidos acima.

Passo 3

Como as massas são iguais, podemos simplificar dividindo ambas as equações por m (ou por \tfrac{1}{2}m na segunda). Substituo os valores iniciais \;v_{1}=4\\ \mathrm{m/s} e \;v_{2}=0\\ \mathrm{m/s}.
Da conservação do momento:
v_{1} + v_{2} = v_{1}' + v_{2}' \quad\Rightarrow\quad 4 + 0 = v_{1}' + v_{2}'
logo
v_{1}' + v_{2}' = 4.
Da conservação da energia cinética (dividindo por \tfrac{1}{2}m):
v_{1}^{2} + v_{2}^{2} = v_{1}'^{2} + v_{2}'^{2} \quad\Rightarrow\quad 4^{2} + 0^{2} = v_{1}'^{2} + v_{2}'^{2}
logo
v_{1}'^{2} + v_{2}'^{2} = 16.
Agora temos o sistema em v_{1}' e v_{2}':
\begin{cases} v_{1}' + v_{2}' = 4,\\[4pt] v_{1}'^{2} + v_{2}'^{2} = 16. \end{cases}]

Passo 4

Para resolver o sistema, uso a identidade (v_{1}'+v_{2}')^{2} = v_{1}'^{2} + v_{2}'^{2} + 2 v_{1}' v_{2}'. Substituo os valores conhecidos:
(4)^{2} = 16 = v_{1}'^{2} + v_{2}'^{2} + 2 v_{1}' v_{2}'.
Mas sabemos que v_{1}'^{2} + v_{2}'^{2} = 16 (da energia). Substituindo, obtemos:
16 = 16 + 2 v_{1}' v_{2}' \quad\Rightarrow\quad 2 v_{1}' v_{2}' = 0.
Portanto
v_{1}' v_{2}' = 0.
Isto significa que pelo menos uma das velocidades finais é zero: ou v_{1}'=0 ou v_{2}'=0.

Passo 5

Temos duas soluções matemáticas possíveis para o sistema:
  1. v_{1}'=0 e, a partir de v_{1}'+v_{2}'=4, v_{2}'=4.
  2. v_{2}'=0 e v_{1}'=4.
Interpretando fisicamente: a segunda solução ( v_{1}'=4,\;v_{2}'=0) corresponderia a nenhuma interação efetiva — a bola branca continuou com a mesma velocidade e a preta permaneceu parada, ou seja, não houve colisão. Mas o enunciado diz que houve colisão; portanto descartamos a solução que representa “nenhum choque”. A solução fisicamente relevante para uma colisão frontal entre massas iguais é que as bolas trocam velocidades: a bola inicial que ia a 4\\ \mathrm{m/s} para (vai a 0) e a outra passa a mover-se com 4\\ \mathrm{m/s}.
Há também uma maneira curta de lembrar isso: em choque perfeitamente elástico e frontal entre massas iguais, as duas massas trocam suas velocidades.

Passo 6

Concluímos então os valores finais e faço um rápido cheque: com v_{1}'=0 e v_{2}'=4 temos conservação do momento 4 = 0 + 4 e conservação da energia 16 = 0^{2} + 4^{2}, ambas satisfeitas. As unidades são \mathrm{m/s}.

Resposta

v_{1}'=0\\ \mathrm{m/s}
v_{2}'=4\\ \mathrm{m/s}

Exercícios relacionados