- (UFRGS) Num jogo de bilhar um jogador lança a bola branca (bola 1) com velocidade
em direção à bola preta (bola 2 ) que está parada (
). As bolas têm massas iguais e podem deslizar sem atrito sobre a mesa. Considerando-se que a colisão é perfeitamente elástica e frontal e que a velocidade inicial da bola branca é positiva, quais os valores das velocidades das bolas, após a colisão?
Passo 1
O enunciado dá um choque frontal perfeitamente elástico entre duas bolas de bilhar com massas iguais. As informações relevantes são:
(velocidade inicial da bola branca),
(velocidade inicial da bola preta), massas iguais (vou chamar cada massa de
), colisão perfeitamente elástica e frontal, e a velocidade inicial da bola branca é positiva.
O que o problema pede: determinar as velocidades das duas bolas imediatamente após a colisão (ou seja, para a bola branca e
para a bola preta).
O que o problema pede: determinar as velocidades das duas bolas imediatamente após a colisão (ou seja,
Passo 2
Vamos usar duas leis de conservação que valem numa colisão perfeitamente elástica e sem forças externas na direção do movimento: conservação da quantidade de movimento (momento linear) e conservação da energia cinética. Vou escrever as fórmulas e explicar cada símbolo.
Conservação do momento linear:
onde
é a massa de cada bola,
e
são as velocidades iniciais, e
e
são as velocidades finais.
Conservação da energia cinética:
a energia cinética de cada bola é
. Nas equações, todos os símbolos já estão definidos acima.
Passo 3
Como as massas são iguais, podemos simplificar dividindo ambas as equações por
(ou por
na segunda). Substituo os valores iniciais
e
.
Da conservação do momento:
logo
Da conservação da energia cinética (dividindo por
):
logo
Agora temos o sistema em
e
:
Passo 4
Para resolver o sistema, uso a identidade
. Substituo os valores conhecidos:
Mas sabemos que
(da energia). Substituindo, obtemos:
Portanto
Isto significa que pelo menos uma das velocidades finais é zero: ou
ou
.
Passo 5
Temos duas soluções matemáticas possíveis para o sistema:
-
e, a partir de , . -
e .
Interpretando fisicamente: a segunda solução (
) corresponderia a nenhuma interação efetiva — a bola branca continuou com a mesma velocidade e a preta permaneceu parada, ou seja, não houve colisão. Mas o enunciado diz que houve colisão; portanto descartamos a solução que representa “nenhum choque”. A solução fisicamente relevante para uma colisão frontal entre massas iguais é que as bolas trocam velocidades: a bola inicial que ia a
para (vai a
) e a outra passa a mover-se com
.
Há também uma maneira curta de lembrar isso: em choque perfeitamente elástico e frontal entre massas iguais, as duas massas trocam suas velocidades.
Passo 6
Concluímos então os valores finais e faço um rápido cheque: com
e
temos conservação do momento
e conservação da energia
, ambas satisfeitas. As unidades são
.