Uma fonte luminosa é colocada a uma profundidade p=5 m de uma piscina cheia de um tipo de óleo. É colocado na superfície dessa piscina um disco com um raio de 4,7124 m cujo centro está localizado logo acima da fonte luminosa. Esse disco foi construído com o menor raio possível para que se impeça que qualquer feixe luminoso seja detectado fora da piscina. Sabendo que o ambiente externo a piscina é o ar atmosférico que possui índice de refração n=1, qual o tipo de óleo dentro da piscina? Justifique. (Resp. Palma)
(a) Óleo de Milho: n=1,465
(b) Óleo de Mostarda: n=1,461
(c) Óleo de Soja: n=1,466
(d) Óleo de Palma: $n=1,458

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede para identificar o óleo:
  • A fonte luminosa está a uma profundidade p=5\\ \mathrm{m}.
  • Há um disco sobre a superfície, com raio r=4,7124\\ \mathrm{m}, cujo centro está exatamente acima da fonte.
  • Esse disco tem o menor raio possível que impeça que qualquer feixe luminoso saia da piscina para o ar.
  • O meio externo (ar) tem índice de refração n_{\text{ar}}=1.
  • Opções de óleo:
    (a) milho: n=1,465
    (b) mostarda: n=1,461
    (c) soja: n=1,466
    (d) palma: n=1,458
    A pergunta: qual óleo é esse? Justificar.

Passo 2

Entendimento físico e ideia principal (sem cálculos ainda). Quando um raio parte da fonte pontual e atinge a superfície inclinando-se em relação à normal, pode:
  • ser refratado para fora (passar para o ar), se o ângulo de incidência \theta for menor que o ângulo crítico \theta_c;
  • sofrer reflexão total interna, se \theta>\theta_c.
    Para que nenhum raio saia da piscina para o ar, o disco deve bloquear exatamente todos os raios que atingem a superfície com ângulos \theta\le\theta_c. Logo o raio que atinge a borda do disco corresponde ao raio que chega à superfície com \theta=\theta_c. Geometricamente, se \theta é medido a partir da vertical (normal), a relação entre r, p e \theta é
\tan(\theta)=\frac{r}{p}.
Esse \theta será o ângulo crítico \theta_c.

Passo 3

Recordando a definição do ângulo crítico via a lei de Snell: a lei de Snell é
n_{\text{oil}}\sin(\theta_{\text{no óleo}})=n_{\text{ar}}\sin(\theta_{\text{no ar}}).ó
No caso do ângulo crítico \theta_c ocorre refração a 90^\circ no ar, isto é \theta_{\text{no ar}}=90^\circ e \sin(90^\circ)=1. Assim
n_{\text{oil}}\sin(\theta_c)=n_{\text{ar}}\cdot 1,
ou seja
\sin(\theta_c)=\frac{n_{\text{ar}}}{n_{\text{oil}}}.
Rearranjando,
n_{\text{oil}}=\frac{n_{\text{ar}}}{\sin(\theta_c)}.

Passo 4

Relacionando \theta_c com a geometria do disco: como já dito,
\tan(\theta_c)=\frac{r}{p}.
Substituímos os valores dados (todos em metros):
\tan(\theta_c)=\frac{r}{p}=\frac{4,7124}{5}=0,94248.

Passo 5

Precisamos de \sin(\theta_c) a partir de \tan(\theta_c). Use a identidade trigonométrica que vem do triângulo retângulo:
\sin(\theta)=\frac{\tan(\theta)}{\sqrt{1+\tan^2(\theta)}}.
Aplicando para \theta_c:
\sin(\theta_c)=\frac{0,94248}{\sqrt{1+0,94248^2}}.
Calculemos passo a passo:
0,94248^2=0,8882685504,
1+0,94248^2=1,8882685504,
\sqrt{1+0,94248^2}\approx 1,374147\quad(\text{aprox.}),
\sin(\theta_c)\approx\frac{0,94248}{1,374147}\approx 0,6860\quad(\text{aprox.}).

Passo 6

Agora usamos a relação para obter n_{\text{oil}}:
n_{\text{oil}}=\frac{n_{\text{ar}}}{\sin(\theta_c)}=\frac{1}{0,6860}\approx 1,458\quad(\text{aprox.}).

Passo 7

Compare o valor calculado com as opções dadas. O índice obtido \approx 1,458 coincide com a opção (d) Óleo de Palma: n=1,458. As outras opções têm índices sensivelmente diferentes ( 1,461,\;1,465,\;1,466) e portanto não batem com o valor mínimo obtido a partir da geometria do disco.

Resposta

(d) Óleo de Palma: n=1,458

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