Uma fonte luminosa é colocada a uma profundidade
de uma piscina cheia de um tipo de óleo. É colocado na superfície dessa piscina um disco com um raio de
cujo centro está localizado logo acima da fonte luminosa. Esse disco foi construído com o menor raio possível para que se impeça que qualquer feixe luminoso seja detectado fora da piscina. Sabendo que o ambiente externo a piscina é o ar atmosférico que possui índice de refração
, qual o tipo de óleo dentro da piscina? Justifique. (Resp. Palma)
(a) Óleo de Milho:
(b) Óleo de Mostarda:
(c) Óleo de Soja:
(d) Óleo de Palma: $n=1,458
(a) Óleo de Milho:
(b) Óleo de Mostarda:
(c) Óleo de Soja:
(d) Óleo de Palma: $n=1,458
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede para identificar o óleo:
- A fonte luminosa está a uma profundidade
. - Há um disco sobre a superfície, com raio
, cujo centro está exatamente acima da fonte. - Esse disco tem o menor raio possível que impeça que qualquer feixe luminoso saia da piscina para o ar.
- O meio externo (ar) tem índice de refração
. - Opções de óleo:
(a) milho:
(b) mostarda:
(c) soja:
(d) palma:
A pergunta: qual óleo é esse? Justificar.
Passo 2
Entendimento físico e ideia principal (sem cálculos ainda). Quando um raio parte da fonte pontual e atinge a superfície inclinando-se em relação à normal, pode:
- ser refratado para fora (passar para o ar), se o ângulo de incidência
for menor que o ângulo crítico ; - sofrer reflexão total interna, se
.
Para que nenhum raio saia da piscina para o ar, o disco deve bloquear exatamente todos os raios que atingem a superfície com ângulos. Logo o raio que atinge a borda do disco corresponde ao raio que chega à superfície com . Geometricamente, se é medido a partir da vertical (normal), a relação entre , e é
Esse
será o ângulo crítico
.
Passo 3
Recordando a definição do ângulo crítico via a lei de Snell: a lei de Snell é
No caso do ângulo crítico
ocorre refração a
no ar, isto é
e
. Assim
ou seja
Rearranjando,
Passo 4
Relacionando
com a geometria do disco: como já dito,
Substituímos os valores dados (todos em metros):
Passo 5
Precisamos de
a partir de
. Use a identidade trigonométrica que vem do triângulo retângulo:
Aplicando para
:
Calculemos passo a passo:
Passo 6
Agora usamos a relação para obter
:
Passo 7
Compare o valor calculado com as opções dadas. O índice obtido
coincide com a opção (d) Óleo de Palma:
. As outras opções têm índices sensivelmente diferentes (
) e portanto não batem com o valor mínimo obtido a partir da geometria do disco.
Resposta
(d) Óleo de Palma: