Um feixe de luz não polarizado, propagando-se incialmente no ar, é polarizado ao ser refletido na superfície de uma determinada substância por um ângulo de 30^{\circ}.
Uma imagem real e invertida I de um objeto O é formada por uma lente (que não aparece na figura); a distância entre o objeto e a imagem, medida ao longo do eixo central da lente, é d=40,0 \mathrm{~cm}. A imagem tem um terço do tamanho do objeto. (a) Que tipo de lente é capaz de produzir essa imagem? (b) A que distância do objeto está a lente? (c) Qual é a distância focal da lente?

Passo 1

O enunciado fornece as seguintes informações e perguntas (vou listar tudo com calma para não nos perder):
  • Foi dito que um feixe de luz não polarizado, vindo do ar, fica polarizado ao ser refletido numa substância quando o ângulo de incidência é 30^\circ. (Informação presente no enunciado; não há perguntas explícitas sobre isso nas partes (a)-(c) que seguem.)
  • Uma lente forma uma imagem real e invertida I de um objeto O.
  • A distância entre o objeto e a imagem, medida ao longo do eixo central da lente, é d=40,0\\ \mathrm{cm}.
  • A imagem tem um terço do tamanho do objeto (ou seja, razão de tamanhos imagem/objeto igual a 1/3, com a imagem invertida).
    As perguntas pedidas são:
    (a) Que tipo de lente é capaz de produzir essa imagem?
    (b) A que distância do objeto está a lente?
    (c) Qual é a distância focal da lente?

Passo 2

Entendendo a relação entre imagem, objeto e aumento (vou explicar bem passo a passo o que é cada coisa):
  • Definimos a distância do objeto à lente como s_o (object distance) e a distância da imagem à lente como s_i (image distance). Ambas medidas ao longo do eixo óptico.
  • O aumento linear (magnificação) m é a razão entre o tamanho da imagem e o tamanho do objeto. Para lentes finas usamos a convenção de sinais habitual: imagens reais e invertidas correspondem a m negativo. A fórmula que relaciona aumento com distâncias é
m = -\frac{s_i}{s_o}.
Aqui: m é adimensional, s_i e s_o têm as mesmas unidades (cm). O sinal “-” aparece porque uma imagem formada do outro lado da lente fica invertida em relação ao objeto.
  • No enunciado a imagem tem um terço do tamanho do objeto e é invertida. Portanto o aumento é
m = -\frac{1}{3}.
Isso significa que o módulo do tamanho da imagem é 1/3 do do objeto e o sinal negativo indica inversão.

Passo 3

Relacionando s_i e s_o a partir do aumento: usando m = -\dfrac{s_i}{s_o} e substituindo m=-\dfrac{1}{3}, temos
-\frac{1}{3} = -\frac{s_i}{s_o}.
Cancelando o sinal “-” em ambos os lados, fica
\frac{1}{3} = \frac{s_i}{s_o}.
Logo
s_i = \frac{s_o}{3}.
Isso é uma equação simples que nos liga as duas distâncias.

Passo 4

Usando a distância objeto–imagem dada: como o objeto e a imagem são reais e estão em lados opostos da lente, a distância total d entre objeto e imagem ao longo do eixo é a soma das duas distâncias medidas a partir da lente:
d = s_o + s_i.
O enunciado deu d = 40,0\\ \mathrm{cm}. Substituindo s_i = s_o/3 obtemos
40,0\\ \mathrm{cm} = s_o + \frac{s_o}{3} = \frac{4}{3}s_o.
Isolando s_o,
s_o = 40,0\\ \mathrm{cm}\times\frac{3}{4}.
Fazendo a conta passo a passo: 40,0\times 3 = 120,0; 120,0/4 = 30,0. Portanto
s_o = 30,0\\ \mathrm{cm}.
Agora calculamos s_i usando s_i = s_o/3:
s_i = \frac{30,0\\ \mathrm{cm}}{3} = 10,0\\ \mathrm{cm}.

Passo 5

Determinar o tipo de lente (explicando por que):
  • A lente formou uma imagem real e invertida do objeto. Esse tipo de imagem (real e invertida) é característico de uma lente convergente (lente convexa) quando o objeto está fora do foco. Lentes divergentes (côncavas) não formam imagens reais e invertidas de objetos reais — elas formam imagens virtuais, direitas e reduzidas.
    Portanto a lente é uma lente convergente (convexa).

Passo 6

Cálculo da distância focal usando a equação das lentes finas (vou explicar a fórmula antes de usar):
A equação das lentes finas relaciona a distância focal f com s_o e s_i:
\frac{1}{f} = \frac{1}{s_o} + \frac{1}{s_i}.
Explicando as variáveis: f é a distância focal (positiva para lentes convergentes), s_o a distância do objeto à lente e s_i a distância da imagem à lente. Todos em cm (ou mesma unidade). Essa fórmula vem da geometria de raios para lentes delgadas; na prova é comum memorizá-la.
Substituímos s_o=30,0\\ \mathrm{cm} e s_i=10,0\\ \mathrm{cm}:
\frac{1}{f} = \frac{1}{30,0} + \frac{1}{10,0}.
Calculemos passo a passo: \dfrac{1}{30,0} = \dfrac{1}{30} e \dfrac{1}{10,0} = \dfrac{1}{10}. Colocando sobre denominador comum 30:
\frac{1}{f} = \frac{1}{30} + \frac{3}{30} = \frac{4}{30} = \frac{2}{15}.
Invertemos para obter f:
f = \frac{15}{2}\\ \mathrm{cm} = 7,5\\ \mathrm{cm}.
Como f saiu positivo, confirma-se que a lente é convergente.

Resposta

(a) lente convergente (convexa)
(b) s_o = 30,0\\ \mathrm{cm}
(c) f = 7,5\\ \mathrm{cm}

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