Um feixe de luz plano-polarizada incide sobre uma lâmina de um cristal birrefringente. O campo elétrico forma com o eixo óptico um ângulo de 45^{\circ}. A placa é uma lâmina de um quarto de onda. Qual é a natureza da luz emergente?

Passo 1

O enunciado nos dá e pede o seguinte (vou listar ponto a ponto):
  • Dado: um feixe de luz plano-polarizada incide sobre uma lâmina birrefringente (placa de retardamento).
  • Dado: o campo elétrico do feixe faz um ângulo de 45^\circ com o eixo óptico da lâmina.
  • Dado: a placa é uma lâmina de um quarto de onda.
  • Pergunta: qual é a natureza da luz emergente (ou seja, como está polarizada após atravessar a lâmina)?

Passo 2

Primeiro vamos escrever o campo elétrico incidente e decompor nos dois eixos naturais da lâmina (tomemos dois eixos ortogonais x e y coincidentes com os eixos cristalográficos — um é o eixo óptico e o outro é perpendicular a ele). Como o campo forma 45^\circ com o eixo, os componentes ao longo de x e y têm a mesma amplitude.
Se a amplitude total é E_0 e a oscilação temporal é \cos(\omega t), podemos escrever o campo incidente como
\mathbf{E}_{\text{in}}(t)=E_0\cos(\omega t)\big(\cos45^\circ\,\hat{\mathbf{x}}+\sin45^\circ\,\hat{\mathbf{y}}\big).
Como \cos45^\circ=\sin45^\circ=\dfrac{1}{\sqrt{2}}, fica
\mathbf{E}_{\text{in}}(t)=\frac{E_0}{\sqrt{2}}\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{x}}+\frac{E_0}{\sqrt{2}}\cos(\omega t)\,\hat{\mathbf{y}}.
Ou em componentes:
E_{x,\text{in}}(t)=\frac{E_0}{\sqrt{2}}\cos(\omega t),\qquad E_{y,\text{in}}(t)=\frac{E_0}{\sqrt{2}}\cos(\omega t).

Passo 3

Agora a física da lâmina de um quarto de onda: ela é feita para introduzir uma diferença de fase fixa entre as componentes x e y. Essa diferença de fase (atraso) é chamada de defasagem \delta. Para uma lâmina de um quarto de onda vale
\delta=\frac{\pi}{2}.
Uma expressão prática para \delta é
\delta=\frac{2\pi}{\lambda}\,\Delta n\,d,
onde \lambda é o comprimento de onda no vácuo, \Delta n=n_e-n_o é a diferença de índices (extraordinário menos ordinário) e d é a espessura da placa. Para \delta=\pi/2 escolhe-se d apropriado. Aqui só precisamos saber que a placa adiciona exatamente \pi/2 de defasagem entre as duas componentes.

Passo 4

Aplicando essa defasagem à passagem pela lâmina: suponha que a componente ao longo de \hat{\mathbf{y}} sofra um atraso de \delta=\pi/2 em relação a \hat{\mathbf{x}} (o resultado análogo vale trocando quais eixos avançam/atrasam, apenas inverte o sentido de rotação). Então, após a lâmina:
E_x(t)=\frac{E_0}{\sqrt{2}}\cos(\omega t), \qquad E_y(t)=\frac{E_0}{\sqrt{2}}\cos\big(\omega t-\delta\big)=\frac{E_0}{\sqrt{2}}\cos\Big(\omega t-\frac{\pi}{2}\Big).
Usando a identidade trigonométrica \cos\big(\theta-\frac{\pi}{2}\big)=\sin\theta, obtemos
E_x(t)=\frac{E_0}{\sqrt{2}}\cos(\omega t),\qquad E_y(t)=\frac{E_0}{\sqrt{2}}\sin(\omega t).

Passo 5

Vamos analisar o movimento do vetor campo no plano transverse. Defina A=\dfrac{E_0}{\sqrt{2}}. As componentes são
E_x(t)=A\cos(\omega t),\qquad E_y(t)=A\sin(\omega t).
Se elevarmos ao quadrado e somarmos:
\left(\frac{E_x(t)}{A}\right)^2+\left(\frac{E_y(t)}{A}\right)^2=\cos^2(\omega t)+\sin^2(\omega t)=1.
Isto mostra que a extremidade do vetor (E_x,E_y) descreve um círculo de raio A no plano transverse, com magnitude do campo constante e a direção girando com o tempo. Essa é exatamente a definição de luz circularmente polarizada.

Passo 6

Comentário sobre o sentido (mão) da rotação: no exemplo acima obtivemos E_y= A\sin(\omega t). Se o tempo evolui e observarmos a direção de rotação, isso corresponde a um sentido (por exemplo, sentido horário visto na direção da propagação) — se a outra componente fosse -A\sin(\omega t) (ou seja, se quem atrasasse fosse o outro eixo) a rotação seria no sentido oposto. Ou seja, a lâmina de um quarto de onda transforma luz linear em luz circular quando a polarização está a 45^\circ dos eixos, e a polaridade (direita/esquerda) da circularidade depende de qual eixo é o mais rápido (qual componente sofre avanço ou atraso).

Passo 7

Breve observação prática e encorajamento: se o ângulo inicial não for exatamente 45^\circ, as amplitudes nas duas direções seriam diferentes e a saída seria uma polarização elíptica (caso geral). Mas para \;45^\circ\; e \;\delta=\pi/2\; a saída é circular — uma transformação muito usada em óptica/óptica quântica, experimentos e filtros. Dá para anotar isso na prova como regra prática: “placa de \lambda/4 + incidência linear a 45^\circ → circular”.

Resposta

Luz circularmente polarizada (o sentido — direita ou esquerda — depende de qual componente é atrasada/adiantada pela placa).

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