Uma rede possui N ranhuras paralelas. O poder de resolução desta rede na primeira ordem é igual a 20.000 e a distância entre ranhuras é 20.000 Å.
Qual é o comprimento de onda do raio visível que aparece para \theta=30^{\circ} ?

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações (vou listar tudo com números que vieram no enunciado):
  • Poder de resolução na primeira ordem: R_{m=1}=20000.
  • Distância entre ranhuras (passo da rede): d=20000\\ \text{\AA}.
  • Ângulo onde aparece o raio: \theta=30^\circ.
O que é pedido:
  • Determinar o comprimento de onda do raio visível que aparece para \theta=30^\circ.

Passo 2

Entender o que significa o “poder de resolução” e como isso nos dá N.
A definição de poder de resolução de uma rede é
R=\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN,
onde:
  • \lambda é o comprimento de onda central que se está resolvendo,
  • \Delta\lambda é a mínima diferença de comprimentos de onda que a rede consegue separar,
  • m é a ordem de difração (um inteiro: m=1,2,3,\dots),
  • N é o número de ranhuras iluminadas (ou efetivas) na rede.
Como o enunciado diz que "na primeira ordem é igual a 20000", isto é R_{m=1}=mN=1\cdot N. Logo:
N = 20000.
Interpretação simples: a rede efetivamente tem 20000 ranhuras iluminadas que contribuem para a formação do máximo na primeira ordem.

Passo 3

Explicar a equação da rede de difração (lei dos máximos):
d\sin\theta = m\lambda,
onde:
  • d é o passo da rede (distância entre ranhuras),
  • \theta é o ângulo de difração medido da normal,
  • m é a ordem,
  • \lambda é o comprimento de onda.
Para cada ordem m que satisfaça |\sin\theta|\le1 existe um máximo a esse ângulo com o comprimento de onda \lambda = \dfrac{d\sin\theta}{m}.

Passo 4

Converter d para unidades usuais (metros) e calcular \sin 30^\circ.
Conversão de \text{\AA} para metros:
1\\ \text{\AA}=10^{-10}\\ \text{m}, \quad\text{logo}\quad d=20000\\ \text{\AA}=20000\times10^{-10}\\ \text{m}=2\times10^{-6}\\ \text{m}.
Sabendo que \sin 30^\circ=\tfrac{1}{2}, a relação para a ordem m fica
\lambda=\frac{d\sin\theta}{m}= \frac{2\times10^{-6}\cdot \tfrac{1}{2}}{m}=\frac{1\times10^{-6}}{m}\\ \text{m}.

Passo 5

Calcular \lambda para as ordens relevantes e verificar se é visível.
  • Para a primeira ordem m=1:
\lambda_{m=1}=\frac{1\times10^{-6}}{1}\\ \text{m}=1{,}0\times10^{-6}\\ \text{m}=1000\\ \text{nm}=10000\\ \text{\AA}.
Comparação com a faixa visível (aprox. 400 700\\ \text{nm}): 1000\\ \text{nm} é infravermelho, portanto NÃO é visível na primeira ordem.
  • Para a segunda ordem m=2:
\lambda_{m=2}=\frac{1\times10^{-6}}{2}\\ \text{m}=5{,}0\times10^{-7}\\ \text{m}=500\\ \text{nm}=5000\\ \text{\AA},
que está dentro da faixa visível (aprox. 400 700\\ \text{nm}). Logo, na ordem m=2 aparece um raio visível de \lambda=500\\ \text{nm} para \theta=30^\circ.
Observação adicional (didática): a presença ou não de uma ordem visível depende de m. A primeira ordem aqui dá um comprimento de onda fora da faixa visível; a segunda ordem traz um comprimento de onda que cai no visível. Em geral, para cada m inteiro deve-se checar \lambda=\dfrac{d\sin\theta}{m} e se isto estiver entre 400 e 700\\ \text{nm} então essa ordem produzirá um raio visível naquele ângulo.

Passo 6

Breve comentário sobre resolução (aprender para a prova): como R=\dfrac{\lambda}{\Delta\lambda}=mN, para a ordem m=2 o poder de resolução seria R_{m=2}=2N=40000. Assim, a mínima separação espectral resolvível nessa ordem é
\Delta\lambda=\frac{\lambda}{R_{m=2}}=\frac{500\\ \text{nm}}{40000}=0{,}0125\\ \text{nm},
o que mostra que a rede pode separar comprimentos de onda muito próximos nessa ordem.

Resposta

\lambda_{m=1}=1{,}0\times10^{-6}\\ \text{m}=1000\\ \text{nm} (infravermelho, não visível)
\lambda_{m=2}=5{,}0\times10^{-7}\\ \text{m}=500\\ \text{nm} (visível)

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