Um feixe de luz não polarizada de intensidade I_{0} incide sobre três polarizadores orientados de tal modo que cada um forma um ângulo \beta com o precedente. Determine a intensidade da luz emergente.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma única coisa.
  • Dado: um feixe de luz não polarizada de intensidade I_{0} incide sobre três polarizadores.
  • Dado: cada polarizador forma um ângulo \beta com o polarizador anterior (ou seja, o 2.º está a \beta do 1.º e o 3.º está a \beta do 2.º).
  • Pedido: determinar a intensidade da luz que sai pelo último (3.º) polarizador, em função de I_{0} e \beta.

Passo 2

Vamos estudar como um polarizador atua sobre luz já polarizada — isso é a lei de Malus, que é a ferramenta central aqui.
  • Ideia física simples: uma onda eletromagnética polarizada tem um campo elétrico com amplitude numa direção fixa. Se esse campo forma um ângulo \theta com o eixo de transmissão do polarizador, a componente transmitida do campo elétrico é a projeção nessa direção, ou seja reduzida por um fator \cos\theta.
  • Como a intensidade de luz é proporcional ao quadrado da amplitude do campo elétrico, a intensidade transmitida por um polarizador é dada por Malus:
I_{\text{trans}} = I_{\text{inc}} \cos^{2}\theta,
onde:
  • I_{\text{inc}} é a intensidade antes do polarizador,
  • \theta é o ângulo entre a direção de polarização da luz incidente e o eixo de transmissão do polarizador,
  • I_{\text{trans}} é a intensidade depois do polarizador.
Essa fórmula significa, na prática, que um polarizador filtra a componente do campo alinhada com seu eixo.

Passo 3

Agora tratamos do caso de luz não polarizada chegando ao primeiro polarizador.
  • Luz não polarizada tem, por definição, todas as direções de polarização igualmente prováveis. Se aplicarmos a lei de Malus a um conjunto de polarizações uniformemente distribuídas em \theta\in[0,2\pi), a intensidade média transmitida por um polarizador é a média de \cos^{2}\theta, que vale 1/2.
  • Formalmente:
\langle \cos^{2}\theta\rangle = \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{2}.
  • Logo, um polarizador ideal transmite metade da intensidade da luz não polarizada incidente. Assim, a intensidade imediatamente após o primeiro polarizador é
I_{1}=\frac{I_{0}}{2},
e a luz que sai do primeiro polarizador já está polarizada na direção do primeiro polarizador.

Passo 4

Aplicando Malus sequencialmente aos demais polarizadores (agora a luz já está polarizada antes de cada etapa):
  • Após o primeiro polarizador: I_{1}=\dfrac{I_{0}}{2} (conforme passo 3), e a polarização está alinhada com o eixo do 1.º polarizador.
  • O segundo polarizador está girado de \beta em relação ao primeiro. Aplicando Malus com \theta=\beta:
I_{2}=I_{1}\cos^{2}\beta=\frac{I_{0}}{2}\cos^{2}\beta.
Além disso, após o segundo polarizador a luz está polarizada ao longo do eixo do 2.º polarizador.
  • O terceiro polarizador está girado de \beta em relação ao segundo. Aplicando Malus de novo, com \theta=\beta entre a polarização incidente (alinhada ao 2.º) e o eixo do 3.º:
I_{3}=I_{2}\cos^{2}\beta=\left(\frac{I_{0}}{2}\cos^{2}\beta\right)\cos^{2}\beta=\frac{I_{0}}{2}\cos^{4}\beta.
Portanto a intensidade emergente do conjunto dos três polarizadores é \dfrac{I_{0}}{2}\cos^{4}\beta.

Passo 5

Pequenas observações e exemplos rápidos para fixar a ideia (isso ajuda na prova):
  • Caso \beta=0 (todos alinhados): \displaystyle I_{3}=\frac{I_{0}}{2} — apenas a metade inicial é perdida no primeiro polarizador, os outros não reduzem mais.
  • Caso \beta=90^\circ (polarizadores cruzados): \cos\beta=0 e \displaystyle I_{3}=0 — bloqueio total.
  • Caso \beta=45^\circ: \cos 45^\circ=\dfrac{\sqrt{2}}{2}, então
I_{3}=\frac{I_{0}}{2}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^{4}=\frac{I_{0}}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{I_{0}}{8}.
Força aí — a ideia-chave é: primeiro polarizador reduz metade (luz não polarizada), depois aplica-se Malus em cada etapa com o ângulo entre a direção de polarização incidente e o eixo do polarizador.

Resposta

I_{\text{final}}=\frac{I_{0}}{2}\cos^{4}\beta

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