Um feixe de partículas vindo de x=-infty encontra uma barreira de potencial descrita por V(x)=V, onde V é uma constante positiva, em x=0. Considere que o feixe incidente de partículas tem energia 0. Encontre a função de onda para x<0 e para x>0, e descreva os coeficientes de transmissão e reflexão para esse potencial.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com mecânica quântica, especificamente com a função de onda de partículas que encontram uma barreira de potencial. O enunciado nos diz que temos um feixe de partículas com energia 0 < E < V chegando de x = -infty e encontrando uma barreira de potencial V(x) = V para x >= 0. Vamos precisar usar a equação de Schrödinger independente do tempo para encontrar a função de onda nas regiões x < 0 e x > 0, além de determinar os coeficientes de transmissão e reflexão.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar da equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 + V(x)psi(x) = Epsi(x)
Aqui, hbar é a constante de Planck reduzida, m é a massa da partícula, V(x) é o potencial, E é a energia da partícula, e psi(x) é a função de onda que queremos encontrar.

Passo 3

Vamos dividir o problema em duas regiões:
  1. Região x < 0: Aqui, o potencial V(x) = 0.
  2. Região x > 0: Aqui, o potencial V(x) = V, uma constante positiva.
Vamos resolver a equação de Schrödinger em cada uma dessas regiões.

Passo 4

Para x < 0:
Substituindo V(x) = 0 na equação de Schrödinger:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = Epsi(x)
Podemos rearranjar a equação:
d^2 psi(x)dx^2 + k^2 psi(x) = 0
onde k = raiz2mEhbar^2.
A solução geral dessa equação diferencial é:
psi1(x) = A e^ikx + B e^-ikx
Aqui, A representa a amplitude da onda incidente e B a amplitude da onda refletida.

Passo 5

Para x > 0:
Aqui, o potencial é V(x) = V. Substituindo na equação de Schrödinger:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 + Vpsi(x) = Epsi(x)
Rearranjando:
d^2 psi(x)dx^2 - kappa^2 psi(x) = 0
onde kappa = raiz2m(V - E)hbar^2.
A solução geral dessa equação é:
psi2(x) = C e^-kappa x
Como E < V, não há parte transmitida com movimento para a direita, então só consideramos a parte que decai exponencialmente.

Passo 6

Agora, precisamos garantir que a função de onda seja contínua em x = 0. Isso significa que:
  1. psi1(0) = psi2(0)
  2. psi1'(0) = psi2'(0)
Vamos aplicar essas condições para encontrar as relações entre os coeficientes A, B e C.
Condição 1:
A + B = C
Condição 2:
ikA - ikB = -kappa C

Passo 7

Vamos resolver o sistema de equações:
  1. A + B = C
  2. ikA - ikB = -kappa C
Substituindo C da primeira equação na segunda:
ikA - ikB = -kappa (A + B)
Rearranjando:
ikA - ikB = -kappa A - kappa B
Colocando os termos com A e B juntos:
(ik + kappa)A = (ik - kappa)B
Então:
B = ik + kappaik - kappa A

Passo 8

O coeficiente de reflexão R é dado pelo quadrado do módulo de B/A:
R = |BA|^2 = |ik + kappaik - kappa|^2
Realizando o cálculo do módulo:
R = k^2 + kappa^2k^2 + kappa^2 = 1
Mas percebemos que há um erro aqui, pois na verdade:
|ik + kappaik - kappa|^2 = k^2 + kappa^2k^2 + kappa^2 = 1
Isso indicaria que toda a onda é refletida, o que está correto já que E < V e não há transmissão…

Passo 9

Na verdade, para E < V, a transmissão não é completamente zero devido ao efeito túnel. Vamos corrigir isso.
O coeficiente de transmissão T é dado por:
T = kappak |CA|^2
Usando C = A + B e B = ik + kappaik - kappa A:
C = A (1 + ik + kappaik - kappa) = A (2ikik - kappa)
Então:
|CA|^2 = |2ikik - kappa|^2 = 4k^2k^2 + kappa^2
Portanto:
T = kappak cdot 4k^2k^2 + kappa^2 = 4kkappak^2 + kappa^2
E o coeficiente de reflexão:
R = 1 - T = 1 - 4kkappak^2 + kappa^2

Resposta

A função de onda para x < 0 é:
psi1(x) = A e^ikx + B e^-ikx
e para x > 0 é:
psi2(x) = C e^-kappa x
Os coeficientes de transmissão T e reflexão R são dados por:
T = 4kkappak^2 + kappa^2 e R = 1 - 4kkappak^2 + kappa^2
onde k = raiz2mEhbar^2 e kappa = raiz2m(V - E)hbar^2.

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