Um feixe de partículas vindo de encontra uma barreira de potencial descrita por , onde é uma constante positiva, em . Considere que o feixe incidente de partículas tem energia . Encontre a função de onda para e para , e descreva os coeficientes de transmissão e reflexão para esse potencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente está lidando com mecânica quântica, especificamente com a função de onda de partículas que encontram uma barreira de potencial. O enunciado nos diz que temos um feixe de partículas com energia chegando de e encontrando uma barreira de potencial para . Vamos precisar usar a equação de Schrödinger independente do tempo para encontrar a função de onda nas regiões e , além de determinar os coeficientes de transmissão e reflexão.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar da equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em uma dimensão:
Aqui, é a constante de Planck reduzida, é a massa da partícula, é o potencial, é a energia da partícula, e é a função de onda que queremos encontrar.
Passo 3
Vamos dividir o problema em duas regiões:
Região : Aqui, o potencial .
Região : Aqui, o potencial , uma constante positiva.
Vamos resolver a equação de Schrödinger em cada uma dessas regiões.
Passo 4
Para :
Substituindo na equação de Schrödinger:
Podemos rearranjar a equação:
onde .
A solução geral dessa equação diferencial é:
Aqui, representa a amplitude da onda incidente e a amplitude da onda refletida.
Passo 5
Para :
Aqui, o potencial é . Substituindo na equação de Schrödinger:
Rearranjando:
onde .
A solução geral dessa equação é:
Como , não há parte transmitida com movimento para a direita, então só consideramos a parte que decai exponencialmente.
Passo 6
Agora, precisamos garantir que a função de onda seja contínua em . Isso significa que:
Vamos aplicar essas condições para encontrar as relações entre os coeficientes , e .
Condição 1:
Condição 2:
Passo 7
Vamos resolver o sistema de equações:
Substituindo da primeira equação na segunda:
Rearranjando:
Colocando os termos com e juntos:
Então:
Passo 8
O coeficiente de reflexão é dado pelo quadrado do módulo de :
Realizando o cálculo do módulo:
R = k^2 + kappa^2k^2 + kappa^2 = 1
Mas percebemos que há um erro aqui, pois na verdade: