Suponha que
V(x)=-V de
onde V>0.
Seja E<0 e encontre a função de onda do estado ligado e a energia.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma função potencial do tipo delta, que é representada por $ V(x) = -V \delta(x) $, onde $ V > 0 V(x) = -V deââçã \psi(x) $) de um estado ligado com energia $ E < 0 $. Para resolver isso, vamos precisar usar a equação de Schrödinger para um potencial delta e aplicar algumas condições de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a equação de Schrödinger independente do tempo para uma partícula em um potencial unidimensional:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 + V(x) psi(x) = E psi(x)
No nosso caso, o potencial $ V(x) = -V \delta(x) $. Como estamos procurando um estado ligado, a energia $ E $ é negativa ($ E < 0 $). Vamos definir $ \kappa = \sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}} $, onde $ m $ é a massa da partícula.
Para $ x \neq 0 $, o potencial é zero, então a equação de Schrödinger fica:
V(x) = -V de
Substituindo $ E = -\frac{\hbar^2 \kappa^2}{2m} $, a equação se torna:
E
A solução geral dessa equação para $ x \neq 0 $ é:
E < 0
Agora, precisamos aplicar as condições de continuidade da função de onda e de sua derivada no ponto $ x = 0 $. A função de onda $ \psi(x) $ deve ser contínua em $ x = 0 $:
kappa = raiz-2mEhbar^2
E a derivada da função de onda tem uma descontinuidade relacionada ao potencial delta:
m
Calculando as derivadas:
x neq 0
Onde $ sgn(x) $ é a função sinal. Avaliando em $ x = 0 $:
-hbar^22m d^2 psi(x)dx^2 = E psi(x)
E = -hbar^2 kappa^22m
Substituindo na condição de descontinuidade:
d^2 psi(x)dx^2 = kappa^2 psi(x)
Simplificando:
x neq 0
Cancelando $ -2A $ dos dois lados:
psi(x) = A e^-kappa |x|
Agora, lembrando que $ \kappa = \sqrt{-\frac{2mE}{\hbar^2}} $, podemos igualar as duas expressões para $ \kappa $:
x = 0
Elevando ao quadrado ambos os lados:
psi(x)
Resolvendo para $ E $:
x = 0
Portanto, a energia do estado ligado é $ E = -\frac{m V^2}{2 \hbar^2} $.
A função de onda associada é:
psi(0^+) = psi(0^-)
Onde $ A $ é a constante de normalização que pode ser determinada dependendo das condições adicionais do problema.

Resposta

A energia do estado ligado é $ E = -\frac{m V^2}{2 \hbar^2} $ e a função de onda correspondente é $ \psi(x) = A e^{-\frac{m V}{\hbar^2} |x|} $, onde $ A $ é uma constante de normalização.

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